Semester 2 kelas 11 merupakan periode krusial dalam pendalaman materi matematika peminatan. Di tahap ini, siswa akan dihadapkan pada konsep-konsep yang lebih kompleks dan abstrak, yang menjadi fondasi penting untuk studi matematika di jenjang yang lebih tinggi. Memahami setiap konsep secara mendalam dan mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal adalah kunci keberhasilan.
Artikel ini hadir untuk membantu Anda menguasai materi matematika peminatan kelas 11 semester 2 dengan menyediakan kumpulan contoh soal beserta pembahasan yang rinci. Kami akan mengulas beberapa topik utama yang umum diajarkan di semester ini, lengkap dengan strategi penyelesaian dan tips agar Anda semakin percaya diri dalam menghadapi ujian maupun kompetisi.
Topik Utama yang Akan Dibahas:
- Fungsi Trigonometri (Lanjutan): Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
- Limit Fungsi Trigonometri
- Turunan Fungsi Trigonometri
- Geometri Dimensi Tiga: Jarak dan Sudut
Mari kita mulai menjelajahi setiap topik ini dengan contoh soal yang relevan.
1. Fungsi Trigonometri: Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
Pada semester 1, kita telah mengenal dasar-dasar fungsi trigonometri. Di semester 2, kita akan mendalami penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, yang melibatkan pencarian nilai-nilai sudut yang memenuhi kondisi tertentu.
Konsep Kunci:
- Persamaan Trigonometri Dasar: Bentuk $sin x = sin alpha$, $cos x = cos alpha$, $tan x = tan alpha$. Solusi umum bergantung pada periodisitas fungsi trigonometri.
- Persamaan Trigonometri Lanjutan: Melibatkan kombinasi fungsi trigonometri, identitas trigonometri, dan metode transformasi.
- Pertidaksamaan Trigonometri: Mencari rentang nilai variabel yang memenuhi kondisi ketidaksamaan.
Contoh Soal 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $sin(2x – fracpi3) = frac12$ untuk $0 le x le 2pi$.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan trigonometri dasar untuk argumen $(2x – fracpi3)$.
Kita tahu bahwa $sin theta = frac12$ memiliki solusi $theta = fracpi6 + 2kpi$ atau $theta = pi – fracpi6 + 2kpi = frac5pi6 + 2kpi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.
Jadi, kita punya dua kasus:
Kasus 1:
$2x – fracpi3 = fracpi6 + 2kpi$
$2x = fracpi6 + fracpi3 + 2kpi$
$2x = fracpi + 2pi6 + 2kpi$
$2x = frac3pi6 + 2kpi$
$2x = fracpi2 + 2kpi$
$x = fracpi4 + kpi$
Sekarang, kita cari nilai $x$ dalam rentang $0 le x le 2pi$:
Untuk $k=0$: $x = fracpi4$ (memenuhi)
Untuk $k=1$: $x = fracpi4 + pi = frac5pi4$ (memenuhi)
Untuk $k=2$: $x = fracpi4 + 2pi = frac9pi4$ (tidak memenuhi)
Kasus 2:
$2x – fracpi3 = frac5pi6 + 2kpi$
$2x = frac5pi6 + fracpi3 + 2kpi$
$2x = frac5pi + 2pi6 + 2kpi$
$2x = frac7pi6 + 2kpi$
$x = frac7pi12 + kpi$
Sekarang, kita cari nilai $x$ dalam rentang $0 le x le 2pi$:
Untuk $k=0$: $x = frac7pi12$ (memenuhi)
Untuk $k=1$: $x = frac7pi12 + pi = frac19pi12$ (memenuhi)
Untuk $k=2$: $x = frac7pi12 + 2pi = frac31pi12$ (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $fracpi4, frac7pi12, frac5pi4, frac19pi12$.
Contoh Soal 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $cos x < frac12$ untuk $0 le x le 2pi$.
Pembahasan:
Pertama, kita cari solusi persamaan $cos x = frac12$ dalam rentang $0 le x le 2pi$.
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = fracpi3$ dan $x = 2pi – fracpi3 = frac5pi3$.
Selanjutnya, kita perlu menentukan di mana nilai $cos x$ lebih kecil dari $frac12$. Kita bisa menggunakan bantuan grafik fungsi kosinus atau lingkaran satuan.
Pada lingkaran satuan, nilai kosinus direpresentasikan oleh koordinat x. Kita mencari sudut di mana koordinat x kurang dari $frac12$. Garis vertikal $x = frac12$ memotong lingkaran satuan pada sudut $fracpi3$ dan $frac5pi3$.
Daerah di mana $cos x < frac12$ adalah saat sudut berada di antara $fracpi3$ dan $frac5pi3$ (bergerak berlawanan arah jarum jam dari $fracpi3$ hingga $frac5pi3$).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(fracpi3, frac5pi3)$.
2. Limit Fungsi Trigonometri
Limit fungsi trigonometri adalah konsep yang penting untuk memahami perilaku fungsi trigonometri di titik-titik tertentu, terutama di mana fungsi tersebut mungkin tidak terdefinisi secara langsung. Ini juga menjadi dasar untuk turunan fungsi trigonometri.
Konsep Kunci:
- Limit Trigonometri Dasar: $limx to 0 fracsin xx = 1$ dan $limx to 0 fractan xx = 1$.
- Identitas Trigonometri: Sering digunakan untuk menyederhanakan ekspresi sebelum menerapkan limit.
- Substitusi: Mengganti variabel untuk mengubah bentuk soal menjadi bentuk yang lebih familiar.
Contoh Soal 3:
Hitunglah nilai dari $lim_x to 0 fracsin 3x2x$.
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan memanfaatkan sifat limit trigonometri dasar $lim_u to 0 fracsin uu = 1$.
Kita perlu membuat argumen di dalam fungsi sinus sama dengan penyebutnya.
$lim_x to 0 fracsin 3x2x$
Kita bisa memanipulasi ekspresi ini:
$limx to 0 fracsin 3x2x = limx to 0 fracsin 3x3x cdot frac3x2x$
Sekarang, kita bisa memisahkan limitnya:
$= limx to 0 fracsin 3x3x cdot limx to 0 frac3x2x$
Misalkan $u = 3x$. Ketika $x to 0$, maka $u to 0$. Jadi, $limx to 0 fracsin 3x3x = limu to 0 fracsin uu = 1$.
Dan $limx to 0 frac3x2x = limx to 0 frac32 = frac32$.
Maka, hasil limitnya adalah:
$= 1 cdot frac32 = frac32$.
Contoh Soal 4:
Hitunglah nilai dari $lim_x to 0 frac1 – cos xx^2$.
Pembahasan:
Untuk limit yang melibatkan $1 – cos x$, kita seringkali menggunakan identitas trigonometri $1 – cos x = 2 sin^2(fracx2)$.
$limx to 0 frac1 – cos xx^2 = limx to 0 frac2 sin^2(fracx2)x^2$
Sekarang, kita bisa menyusun ulang ekspresi ini agar sesuai dengan bentuk limit dasar $fracsin uu$:
$= lim_x to 0 2 cdot left(fracsin(fracx2)xright)^2$
Kita perlu membuat argumen sinus $(fracx2)$ sama dengan penyebut. Kita bisa memanipulasinya sebagai berikut:
$= lim_x to 0 2 cdot left(fracsin(fracx2)fracx2 cdot frac12right)^2$
Sekarang pisahkan limitnya:
$= 2 cdot left(limx to 0 fracsin(fracx2)fracx2 cdot limx to 0 frac12right)^2$
Misalkan $u = fracx2$. Ketika $x to 0$, maka $u to 0$. Jadi, $limx to 0 fracsin(fracx2)fracx2 = limu to 0 fracsin uu = 1$.
Maka, hasil limitnya adalah:
$= 2 cdot left(1 cdot frac12right)^2$
$= 2 cdot left(frac12right)^2$
$= 2 cdot frac14$
$= frac12$.
3. Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri merupakan aplikasi dari konsep limit. Memahami aturan turunan dasar untuk fungsi trigonometri sangat penting dalam kalkulus.
Konsep Kunci:
- Aturan Turunan Dasar:
- $fracddx(sin x) = cos x$
- $fracddx(cos x) = -sin x$
- $fracddx(tan x) = sec^2 x$
- Aturan Rantai: Digunakan ketika fungsi trigonometri merupakan bagian dari fungsi yang lebih kompleks (fungsi komposisi).
Contoh Soal 5:
Tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x) = sin^2(3x)$.
Pembahasan:
Fungsi ini adalah fungsi komposisi, sehingga kita perlu menggunakan aturan rantai.
Misalkan $u = sin(3x)$ dan $v = 3x$. Maka, $f(x) = u^2$.
Aturan rantai menyatakan bahwa $fracdfdx = fracdfdu cdot fracdudv cdot fracdvdx$.
-
Turunan $f(x)$ terhadap $u$:
$fracdfdu = fracddu(u^2) = 2u$ -
Turunan $u$ terhadap $v$:
$u = sin(v)$
$fracdudv = fracddv(sin v) = cos v$ -
Turunan $v$ terhadap $x$:
$v = 3x$
$fracdvdx = fracddx(3x) = 3$
Sekarang, kita gabungkan hasilnya:
$fracdfdx = (2u) cdot (cos v) cdot (3)$
Substitusikan kembali $u = sin(3x)$ dan $v = 3x$:
$fracdfdx = 2(sin(3x)) cdot (cos(3x)) cdot 3$
$fracdfdx = 6 sin(3x) cos(3x)$
Kita bisa menyederhanakan lebih lanjut menggunakan identitas trigonometri $2 sin A cos A = sin 2A$:
$6 sin(3x) cos(3x) = 3 cdot (2 sin(3x) cos(3x))$
$= 3 sin(2 cdot 3x)$
$= 3 sin(6x)$
Jadi, turunan pertama dari $f(x) = sin^2(3x)$ adalah $f'(x) = 6 sin(3x) cos(3x)$ atau $f'(x) = 3 sin(6x)$.
Contoh Soal 6:
Tentukan turunan pertama dari fungsi $g(x) = x^2 tan x$.
Pembahasan:
Fungsi ini merupakan hasil perkalian dua fungsi, yaitu $u(x) = x^2$ dan $v(x) = tan x$. Kita perlu menggunakan aturan perkalian turunan: $(uv)’ = u’v + uv’$.
-
Turunan $u(x)$:
$u'(x) = fracddx(x^2) = 2x$ -
Turunan $v(x)$:
$v'(x) = fracddx(tan x) = sec^2 x$
Sekarang, terapkan aturan perkalian:
$g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
$g'(x) = (2x)(tan x) + (x^2)(sec^2 x)$
$g'(x) = 2x tan x + x^2 sec^2 x$
Jadi, turunan pertama dari $g(x) = x^2 tan x$ adalah $g'(x) = 2x tan x + x^2 sec^2 x$.
4. Geometri Dimensi Tiga: Jarak dan Sudut
Geometri dimensi tiga menjadi bagian penting dalam mengaplikasikan konsep-konsep matematika pada objek-objek ruang. Di kelas 11, fokus seringkali pada penghitungan jarak antar titik, garis, dan bidang, serta sudut antara garis dan garis, garis dan bidang, serta bidang dan bidang.
Konsep Kunci:
- Jarak: Dihitung menggunakan teorema Pythagoras, rumus jarak dalam ruang (jika menggunakan koordinat), atau proyeksi.
- Sudut Garis-Garis: Menggunakan vektor arah garis atau aturan cosinus.
- Sudut Garis-Bidang: Menggunakan proyeksi garis pada bidang dan definisi sinus sudut.
- Sudut Bidang-Bidang (Sudut Dihedral): Menggunakan garis potong dua bidang dan vektor normal kedua bidang.
Contoh Soal 7:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang BCHE.
Pembahasan:
Kubus ABCD.EFGH memiliki titik-titik:
A(0,0,6), B(6,0,6), C(6,6,6), D(0,6,6)
E(0,0,0), F(6,0,0), G(6,6,0), H(0,6,0)
(Asumsi penempatan titik di koordinat, dengan E sebagai titik asal (0,0,0) dan rusuk sejajar sumbu-sumbu).
Bidang BCHE dibentuk oleh titik-titik B(6,0,6), C(6,6,6), H(0,6,0), E(0,0,0).
Titik A berada di (0,0,6).
Bidang BCHE adalah bidang diagonal yang memotong kubus.
Cara lain untuk memvisualisasikan:
Bidang BCHE adalah bidang vertikal yang melalui rusuk BC dan EH.
Jarak terpendek dari titik A ke bidang BCHE adalah jarak tegak lurus.
Perhatikan bahwa bidang ABCD adalah bidang datar di bagian atas kubus, dan bidang EFGH di bagian bawah. Bidang BCHE memotong kedua bidang ini.
Jika kita melihat dari atas (proyeksi pada bidang xy), titik A adalah (0,0). Titik B adalah (6,0), C adalah (6,6), D adalah (0,6).
Bidang BCHE dalam pandangan ini adalah garis yang menghubungkan B(6,0) dan C(6,6) (ini bukan bidang BCHE sebenarnya, ini hanya pandangan proyeksi).
Mari kita gunakan konsep proyeksi. Jarak titik A ke bidang BCHE sama dengan jarak titik A ke proyeksinya pada bidang BCHE.
Namun, cara yang lebih mudah adalah menyadari bahwa bidang BCHE memotong kubus.
Bidang BCHE merupakan bidang yang dibentuk oleh rusuk BC dan rusuk EH.
Jarak titik A ke bidang BCHE adalah jarak dari titik A ke garis yang tegak lurus terhadap bidang tersebut dan melalui A.
Perhatikan sisi depan kubus (ABFE). Jarak titik A ke garis BF adalah panjang rusuk AB = 6.
Sekarang, perhatikan bidang BCHE. Bidang ini sejajar dengan bidang ADGF.
Jarak titik A ke bidang BCHE adalah jarak tegak lurus dari A ke bidang tersebut.
Titik A berada pada garis AD. Garis AD sejajar dengan garis EH.
Bidang BCHE adalah bidang yang melalui garis BC dan EH.
Jika kita membuat proyeksi titik A ke bidang BCHE, proyeksi tersebut akan jatuh pada titik yang memiliki jarak yang sama dari rusuk AB dan rusuk AD (dalam pandangan 2D dari sisi depan).
Cara yang lebih mudah:
Bidang BCHE adalah bidang yang dibentuk oleh titik-titik B, C, H, E.
Perhatikan bidang ABCD. Titik A berada pada bidang ini.
Perhatikan bidang EFGH. Titik E dan H berada pada bidang ini.
Bidang BCHE sejajar dengan bidang ADGF.
Jarak titik A ke bidang BCHE sama dengan jarak dari garis AD ke bidang BCHE.
Jarak ini sama dengan jarak dari titik A ke garis BC (jika kita melihat sisi depan), atau jarak dari titik A ke garis EH.
Jika kita melihat dari sisi depan kubus (ABCD.EFGH), titik A berada di sudut kiri bawah. Bidang BCHE akan terlihat seperti garis vertikal yang melewati B dan C.
Jarak titik A ke bidang BCHE adalah jarak dari titik A ke garis BC.
Ini adalah panjang rusuk AB, yaitu 6 cm.
Kesimpulan: Jarak titik A ke bidang BCHE adalah panjang rusuk AB, yaitu 6 cm.
Penjelasan Alternatif:
Bidang BCHE adalah bidang vertikal. Titik A berada pada bidang ABCD. Jarak terdekat dari A ke bidang BCHE adalah garis tegak lurus dari A ke bidang tersebut. Garis AB tegak lurus terhadap bidang BCHE (karena AB tegak lurus BC dan AB tegak lurus BF, dan BF adalah bagian dari bidang yang membentuk BCHE). Oleh karena itu, jarak titik A ke bidang BCHE adalah panjang AB.
Contoh Soal 8:
Diketahui limas segitiga T.ABC dengan TA tegak lurus alas ABC. Panjang AB = AC = BC = 6 cm dan TA = 8 cm. Tentukan sudut antara garis TC dan bidang ABC.
Pembahasan:
Karena TA tegak lurus alas ABC, maka TA tegak lurus setiap garis di bidang ABC yang melalui A.
Jadi, TA tegak lurus AC dan TA tegak lurus AB.
Sudut antara garis TC dan bidang ABC adalah sudut antara garis TC dan proyeksinya pada bidang ABC.
Proyeksi garis TC pada bidang ABC adalah garis AC (karena TA tegak lurus AC).
Jadi, sudut yang dicari adalah sudut antara TC dan AC, yaitu sudut TCA.
Kita memiliki segitiga TAC yang siku-siku di A.
Kita tahu panjang TA = 8 cm.
Kita tahu alas ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang rusuk 6 cm.
Panjang AC adalah 6 cm.
Dalam segitiga siku-siku TAC:
$tan(angle TCA) = fractextsisi depantextsisi samping = fracTAAC$
$tan(angle TCA) = frac86 = frac43$
Jadi, sudut antara garis TC dan bidang ABC adalah $arctan(frac43)$.
Penutup
Menguasai materi matematika peminatan kelas 11 semester 2 membutuhkan latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang mendalam. Dengan mempelajari contoh soal dan pembahasan yang telah disajikan, diharapkan Anda memiliki bekal yang lebih baik untuk menghadapi tantangan akademis.
Ingatlah bahwa matematika adalah sebuah proses. Jangan ragu untuk mencoba berbagai variasi soal, mencari sumber belajar tambahan, dan berdiskusi dengan teman maupun guru. Semakin sering Anda berlatih, semakin terasah kemampuan Anda dalam menganalisis masalah dan menemukan solusi yang tepat. Selamat belajar dan semoga sukses!