Menguasai Matematika Semester 1 Kelas 11: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Memasuki jenjang kelas 11 SMA menandakan dimulainya babak baru dalam pembelajaran matematika. Materi yang disajikan semakin mendalam dan menantang, menuntut pemahaman konsep yang kuat serta kemampuan aplikasi yang mumpuni. Semester 1 kelas 11 biasanya menjadi gerbang menuju topik-topik fundamental yang akan terus digunakan di jenjang perkuliahan maupun dalam kehidupan profesional.

Artikel ini hadir untuk membantu para siswa kelas 11 dalam mempersiapkan diri menghadapi ujian semester 1 matematika. Kita akan mengupas tuntas beberapa topik kunci yang umum diujikan, dilengkapi dengan contoh soal yang bervariasi beserta pembahasannya. Dengan memahami contoh-contoh ini, diharapkan siswa dapat membangun kepercayaan diri dan menguasai materi dengan lebih baik.

Topik-Topik Kunci Matematika Kelas 11 Semester 1

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah, beberapa topik berikut ini hampir selalu menjadi materi pokok matematika kelas 11 semester 1:

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers: Konsep penggabungan dua fungsi dan mencari fungsi kebalikannya.
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Memahami bagaimana nilai mutlak memengaruhi solusi persamaan dan pertidaksamaan.
Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional dan Irasional: Menjelajahi persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan pecahan dan akar kuadrat.
Trigonometri (Dasar): Pengenalan sudut, perbandingan trigonometri dasar (sinus, kosinus, tangen), dan identitas trigonometri sederhana.
Program Linear: Merumuskan dan menyelesaikan masalah optimasi menggunakan sistem pertidaksamaan linear.

Mari kita bedah setiap topik dengan contoh soalnya.

1. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Konsep Dasar:

Fungsi Komposisi: Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah dua fungsi, maka fungsi komposisi $(f circ g)(x)$ didefinisikan sebagai $f(g(x))$. Artinya, kita substitusikan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$. Urutan komposisi sangat penting, karena $(f circ g)(x)$ belum tentu sama dengan $(g circ f)(x)$.
Fungsi Invers: Fungsi invers dari $f(x)$, dilambangkan dengan $f^-1(x)$, adalah fungsi yang "membalik" pemetaan dari $f(x)$. Jika $f(a) = b$, maka $f^-1(b) = a$. Untuk mencari fungsi invers, kita bisa mengganti $y = f(x)$, lalu tukar variabel $x$ dan $y$, kemudian selesaikan untuk $y$.

Contoh Soal 1:
Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^2 – 3$. Tentukan:
a. $(f circ g)(x)$
b. $(g circ f)(x)$
c. $f^-1(x)$
d. $g^-1(x)$

Pembahasan:

a. Untuk mencari $(f circ g)(x)$, kita substitusikan $g(x)$ ke dalam $f(x)$:
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
$= f(x^2 – 3)$
$= 2(x^2 – 3) + 1$
$= 2x^2 – 6 + 1$
$= 2x^2 – 5$

b. Untuk mencari $(g circ f)(x)$, kita substitusikan $f(x)$ ke dalam $g(x)$:
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
$= g(2x + 1)$
$= (2x + 1)^2 – 3$
$= (4x^2 + 4x + 1) – 3$
$= 4x^2 + 4x – 2$

c. Untuk mencari $f^-1(x)$:
Misalkan $y = f(x) = 2x + 1$.
Tukar variabel $x$ dan $y$: $x = 2y + 1$.
Selesaikan untuk $y$:
$x – 1 = 2y$
$y = fracx – 12$
Jadi, $f^-1(x) = fracx – 12$.

d. Untuk mencari $g^-1(x)$:
Misalkan $y = g(x) = x^2 – 3$.
Tukar variabel $x$ dan $y$: $x = y^2 – 3$.
Selesaikan untuk $y$:
$x + 3 = y^2$
$y = pm sqrtx + 3$
(Catatan: Fungsi invers $g^-1(x)$ hanya akan menjadi fungsi tunggal jika domain $g(x)$ dibatasi, misalnya $x ge 0$ atau $x le 0$. Tanpa pembatasan domain, $g^-1(x)$ bukan merupakan fungsi.)

2. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Konsep Dasar:

Nilai Mutlak: $|a|$ adalah jarak bilangan $a$ dari nol pada garis bilangan. Artinya, $|a| = a$ jika $a ge 0$ dan $|a| = -a$ jika $a < 0$.
Persamaan Nilai Mutlak:
- Jika $|ax + b| = c$ (dengan $c ge 0$), maka $ax + b = c$ atau $ax + b = -c$.
- Jika $|ax + b| = |cx + d|$, maka $ax + b = cx + d$ atau $ax + b = -(cx + d)$.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
- Jika $|ax + b| < c$ (dengan $c > 0$), maka $-c < ax + b < c$.
- Jika $|ax + b| > c$ (dengan $c > 0$), maka $ax + b > c$ atau $ax + b < -c$.

Contoh Soal 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. $|2x – 1| = 5$
b. $|3x + 2| = |x – 4|$
c. $|x – 3| < 4$
d. $|2x + 1| ge 3$

Pembahasan:

a. $|2x – 1| = 5$
Kasus 1: $2x – 1 = 5 implies 2x = 6 implies x = 3$.
Kasus 2: $2x – 1 = -5 implies 2x = -4 implies x = -2$.
Himpunan penyelesaian: $-2, 3$.

b. $|3x + 2| = |x – 4|$
Kasus 1: $3x + 2 = x – 4 implies 2x = -6 implies x = -3$.
Kasus 2: $3x + 2 = -(x – 4) implies 3x + 2 = -x + 4 implies 4x = 2 implies x = frac12$.
Himpunan penyelesaian: $-3, frac12$.

c. $|x – 3| < 4$
Ini berarti $-4 < x – 3 < 4$.
Tambahkan 3 ke semua bagian:
$-4 + 3 < x < 4 + 3$
$-1 < x < 7$.
Himpunan penyelesaian dalam notasi interval: $(-1, 7)$.

d. $|2x + 1| ge 3$
Ini berarti $2x + 1 ge 3$ atau $2x + 1 le -3$.
Kasus 1: $2x + 1 ge 3 implies 2x ge 2 implies x ge 1$.
Kasus 2: $2x + 1 le -3 implies 2x le -4 implies x le -2$.
Himpunan penyelesaian: $x mid x le -2 text atau x ge 1$. Dalam notasi interval: $(-infty, -2] cup $, dan $$: Ambil $x = 0$. $frac0-10+3 = frac-13 < 0$.

Interval $$.

c. $sqrtx+2 = x – 4$
Syarat 1 (di dalam akar): $x + 2 ge 0 implies x ge -2$.
Syarat 2 (hasil akar): $x – 4 ge 0 implies x ge 4$.
Kedua syarat harus terpenuhi, jadi kita perlu $x ge 4$.
Kuadratkan kedua sisi:
$(sqrtx+2)^2 = (x – 4)^2$
$x + 2 = x^2 – 8x + 16$
$0 = x^2 – 9x + 14$
$0 = (x – 2)(x – 7)$
Solusi sementara: $x = 2$ atau $x = 7$.
Periksa dengan syarat $x ge 4$:

Untuk $x = 2$: $2 < 4$, jadi $x = 2$ adalah solusi palsu.
Untuk $x = 7$: $7 ge 4$, jadi $x = 7$ adalah solusi valid.
Himpunan penyelesaian: $7$.

d. $sqrt2x-1 < 3$
Syarat 1 (di dalam akar): $2x – 1 ge 0 implies 2x ge 1 implies x ge frac12$.
Syarat 2 (nilai mutlak): Karena 3 positif, kita bisa langsung mengkuadratkan.
Kuadratkan kedua sisi:
$(sqrt2x-1)^2 < 3^2$
$2x – 1 < 9$
$2x < 10$
$x < 5$.
Gabungkan dengan syarat $x ge frac12$: $frac12 le x < 5$.
Himpunan penyelesaian: $[frac12, 5)$.

4. Trigonometri (Dasar)

Konsep Dasar:

Sudut: Diukur dalam derajat atau radian.
Perbandingan Trigonometri: Pada segitiga siku-siku, sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan) didefinisikan sebagai perbandingan sisi-sisi terhadap sudut lancip $theta$:
- $sin theta = fractextSisi DepantextSisi Miring$
- $cos theta = fractextSisi SampingtextSisi Miring$
- $tan theta = fractextSisi DepantextSisi Samping = fracsin thetacos theta$
Lingkaran Satuan: Digunakan untuk mendefinisikan perbandingan trigonometri untuk sudut sembarang. Koordinat $(x, y)$ pada lingkaran satuan untuk sudut $theta$ dari sumbu-x positif adalah $(cos theta, sin theta)$.
Identitas Trigonometri Dasar:
- $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$
- $tan theta = fracsin thetacos theta$
- Identitas terkait $sec theta$, $csc theta$, $cot theta$ (kebalikan dari $cos$, $sin$, $tan$).

Contoh Soal 4:
a. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi depan sudut $alpha$ sepanjang 8 cm dan sisi samping sepanjang 15 cm. Tentukan nilai $sin alpha$, $cos alpha$, dan $tan alpha$.
b. Jika $sin theta = frac35$ dan sudut $theta$ berada di kuadran II, tentukan nilai $cos theta$ dan $tan theta$.
c. Sederhanakan ekspresi: $frac1 – sin^2 xcos x$.
d. Tentukan nilai $sin 135^circ$ dan $cos 210^circ$.

Pembahasan:

a. Pertama, cari panjang sisi miring menggunakan Teorema Pythagoras:
Sisi Miring$^2$ = Sisi Depan$^2$ + Sisi Samping$^2$
Sisi Miring$^2$ = $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
Sisi Miring = $sqrt289 = 17$ cm.

Maka:
$sin alpha = fractextSisi DepantextSisi Miring = frac817$
$cos alpha = fractextSisi SampingtextSisi Miring = frac1517$
$tan alpha = fractextSisi DepantextSisi Samping = frac815$

b. Diketahui $sin theta = frac35$. Kita gunakan identitas $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$.
$(frac35)^2 + cos^2 theta = 1$
$frac925 + cos^2 theta = 1$
$cos^2 theta = 1 – frac925 = frac1625$
$cos theta = pm sqrtfrac1625 = pm frac45$.
Karena $theta$ di kuadran II, nilai $cos theta$ adalah negatif. Jadi, $cos theta = -frac45$.

Sekarang hitung $tan theta$:
$tan theta = fracsin thetacos theta = fracfrac35-frac45 = -frac34$.

c. Sederhanakan ekspresi $frac1 – sin^2 xcos x$.
Menggunakan identitas $sin^2 x + cos^2 x = 1$, kita tahu bahwa $1 – sin^2 x = cos^2 x$.
Maka, ekspresi menjadi:
$fraccos^2 xcos x = cos x$.
(Dengan syarat $cos x ne 0$).

d. Menentukan nilai sudut istimewa:

$sin 135^circ$: Sudut $135^circ$ berada di kuadran II. Relasinya dengan sudut lancip adalah $180^circ – 135^circ = 45^circ$. Di kuadran II, sinus bernilai positif.
$sin 135^circ = sin (180^circ – 45^circ) = sin 45^circ = frac12sqrt2$.
$cos 210^circ$: Sudut $210^circ$ berada di kuadran III. Relasinya dengan sudut lancip adalah $210^circ – 180^circ = 30^circ$. Di kuadran III, kosinus bernilai negatif.
$cos 210^circ = cos (180^circ + 30^circ) = -cos 30^circ = -frac12sqrt3$.

5. Program Linear

Konsep Dasar:
Program linear adalah metode untuk menemukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi tujuan (biasanya berbentuk $ax + by$) yang dibatasi oleh beberapa kendala dalam bentuk pertidaksamaan linear. Langkah-langkah penyelesaian umumnya adalah:

Merumuskan Model Matematika: Mengidentifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan, dan kendala.
Menggambar Daerah Penyelesaian (DP): Menggambar setiap pertidaksamaan pada sistem koordinat Kartesius. Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah Daerah Penyelesaian.
Mencari Titik-Titik Sudut DP: Titik-titik pojok dari Daerah Penyelesaian.
Uji Titik Sudut: Mensubstitusikan koordinat setiap titik sudut ke dalam fungsi tujuan.
Menentukan Nilai Optimum: Nilai terbesar dari hasil uji adalah nilai maksimum, dan nilai terkecil adalah nilai minimum.

Contoh Soal 5:
Seorang pengusaha kue ingin memproduksi kue jenis A dan kue jenis B. Untuk membuat satu kue jenis A, diperlukan 10 gram gula dan 15 gram tepung. Untuk membuat satu kue jenis B, diperlukan 20 gram gula dan 10 gram tepung. Persediaan gula hanya ada 2000 gram dan tepung 2400 gram. Jika keuntungan dari penjualan kue jenis A adalah Rp 5.000 per buah dan kue jenis B adalah Rp 4.000 per buah, tentukan jumlah kue jenis A dan kue jenis B yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum.

Pembahasan:

Model Matematika:
Misalkan:
- $x$ = jumlah kue jenis A
- $y$ = jumlah kue jenis B
Kendala:
- Gula: $10x + 20y le 2000$ (disederhanakan menjadi $x + 2y le 200$)
- Tepung: $15x + 10y le 2400$ (disederhanakan menjadi $3x + 2y le 480$)
- Non-negatif: $x ge 0$, $y ge 0$
Fungsi Tujuan (Keuntungan):
$Z = 5000x + 4000y$ (Kita akan mencari nilai maksimum $Z$)
Menggambar Daerah Penyelesaian:
Kita cari titik potong dari garis-garis kendala:
- Garis 1: $x + 2y = 200$
  Jika $x = 0$, $2y = 200 implies y = 100$. Titik (0, 100).
  Jika $y = 0$, $x = 200$. Titik (200, 0).
- Garis 2: $3x + 2y = 480$
  Jika $x = 0$, $2y = 480 implies y = 240$. Titik (0, 240).
  Jika $y = 0$, $3x = 480 implies x = 160$. Titik (160, 0).
Gambar kedua garis tersebut dan tentukan daerah yang memenuhi $x ge 0$, $y ge 0$, $x + 2y le 200$, dan $3x + 2y le 480$.
Mencari Titik-Titik Sudut DP:
Titik-titik sudut yang terbentuk adalah:
- (0, 0)
- (160, 0) (Titik potong garis $3x + 2y = 480$ dengan sumbu-x)
- (0, 100) (Titik potong garis $x + 2y = 200$ dengan sumbu-y)
- Titik potong antara $x + 2y = 200$ dan $3x + 2y = 480$.
  Eliminasi:
  $(3x + 2y) – (x + 2y) = 480 – 200$
  $2x = 280$
  $x = 140$.
  Substitusi $x = 140$ ke $x + 2y = 200$:
  $140 + 2y = 200$
  $2y = 60$
  $y = 30$.
  Jadi, titik potongnya adalah (140, 30).
Titik-titik sudut DP adalah: (0, 0), (160, 0), (140, 30), dan (0, 100).
Uji Titik Sudut:
Substitusikan koordinat titik sudut ke dalam fungsi tujuan $Z = 5000x + 4000y$:
- Di (0, 0): $Z = 5000(0) + 4000(0) = 0$.
- Di (160, 0): $Z = 5000(160) + 4000(0) = 800.000$.
- Di (140, 30): $Z = 5000(140) + 4000(30) = 700.000 + 120.000 = 820.000$.
- Di (0, 100): $Z = 5000(0) + 4000(100) = 400.000$.
Menentukan Nilai Optimum:
Nilai keuntungan maksimum adalah Rp 820.000, yang dicapai ketika memproduksi 140 kue jenis A dan 30 kue jenis B.

Penutup

Mempelajari contoh-contoh soal ini adalah langkah awal yang sangat baik untuk mempersiapkan diri menghadapi ujian matematika semester 1 kelas 11. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan dalam matematika adalah pemahaman konsep yang mendalam, latihan yang konsisten, dan kemampuan untuk mengaitkan berbagai topik.

Jangan ragu untuk mencari sumber belajar tambahan, bertanya kepada guru atau teman, dan yang terpenting, nikmati proses belajar Anda. Dengan dedikasi dan strategi yang tepat, Anda pasti bisa meraih hasil yang gemilang. Selamat belajar!

staialbayanmks.ac.id