Contoh soal matematika wajib kelas 11 semester 1

Menguasai Matematika Wajib Kelas 11 Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan

Memasuki jenjang kelas 11, materi matematika wajib semakin menantang dan membutuhkan pemahaman konseptual yang mendalam. Semester 1 tahun ajaran ini biasanya berfokus pada beberapa topik kunci yang menjadi fondasi penting untuk pembelajaran selanjutnya. Memahami materi ini dengan baik bukan hanya krusial untuk meraih nilai akademis yang gemilang, tetapi juga untuk membangun logika berpikir kritis dan kemampuan pemecahan masalah yang akan sangat berguna di masa depan.

Artikel ini hadir untuk membantu Anda menguasai materi Matematika Wajib Kelas 11 Semester 1. Kita akan mengupas tuntas beberapa topik utama, dilengkapi dengan contoh soal yang bervariasi serta penjelasan langkah demi langkah untuk setiap solusinya. Dengan panduan ini, diharapkan Anda dapat mempersiapkan diri dengan lebih optimal dan percaya diri dalam menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester (PTS), hingga penilaian akhir semester (PAS).

Topik Utama Matematika Wajib Kelas 11 Semester 1

Umumnya, materi Matematika Wajib Kelas 11 Semester 1 mencakup beberapa bab penting, di antaranya:

Program Linear: Melibatkan perumusan masalah ke dalam model matematika berupa pertidaksamaan linear, kemudian menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan menggunakan metode grafik atau metode simplex (untuk kasus yang lebih kompleks, namun seringkali fokus pada metode grafik di tingkat SMA).
Matriks: Mempelajari tentang definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi dasar matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, perkalian matriks), determinan, invers, dan penerapannya dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.
Transformasi Geometri: Meliputi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/pengecilan) pada bidang datar. Materi ini seringkali disajikan menggunakan konsep matriks.

Mari kita bedah masing-masing topik ini dengan contoh soal dan pembahasannya.

Bab 1: Program Linear

Program linear adalah alat matematika yang sangat berguna untuk mengoptimalkan penggunaan sumber daya yang terbatas. Dalam konteks ini, kita akan fokus pada masalah yang dapat dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear dan mencari nilai optimum dari suatu fungsi objektif.

Konsep Kunci:

Variabel Keputusan: Merupakan kuantitas yang ingin kita tentukan nilainya (misalnya, jumlah produk A dan B yang diproduksi).
Fungsi Tujuan: Fungsi yang ingin dioptimalkan (dimaksimalkan atau diminimalkan), biasanya dinyatakan dalam bentuk $f(x, y) = ax + by$.
Kendala: Batasan-batasan yang harus dipenuhi, dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.
Daerah Feasible (DPF): Himpunan semua titik $(x, y)$ yang memenuhi semua kendala.
Titik Optimum: Titik $(x, y)$ di DPF yang memberikan nilai maksimum atau minimum pada fungsi tujuan. Titik-titik ini selalu terletak pada titik-titik sudut DPF.

Contoh Soal 1.1:

Seorang pengusaha ingin memproduksi dua jenis produk, yaitu produk A dan produk B. Untuk memproduksi satu unit produk A, dibutuhkan 2 jam kerja mesin dan 1 kg bahan baku. Untuk memproduksi satu unit produk B, dibutuhkan 1 jam kerja mesin dan 3 kg bahan baku. Persediaan jam kerja mesin yang tersedia adalah 100 jam per minggu, dan persediaan bahan baku adalah 90 kg per minggu. Keuntungan dari penjualan satu unit produk A adalah Rp 5.000,00 dan produk B adalah Rp 4.000,00. Tentukan jumlah produksi masing-masing produk agar diperoleh keuntungan maksimum.

Pembahasan Soal 1.1:

Identifikasi Variabel Keputusan:
Misalkan $x$ adalah jumlah unit produk A yang diproduksi.
Misalkan $y$ adalah jumlah unit produk B yang diproduksi.
Rumuskan Fungsi Tujuan:
Keuntungan yang ingin dimaksimalkan adalah:
$f(x, y) = 5000x + 4000y$
Rumuskan Kendala:
- Kendala jam kerja mesin: $2x + y le 100$
- Kendala bahan baku: $x + 3y le 90$
- Kendala non-negatif (jumlah produk tidak boleh negatif): $x ge 0$, $y ge 0$
Gambarlah Daerah Feasible (DPF):
Kita perlu menggambar garis-garis dari pertidaksamaan di atas dan menentukan daerah yang memenuhi semua kondisi.
- Garis $2x + y = 100$:
  Jika $x=0$, maka $y=100$. Titik (0, 100).
  Jika $y=0$, maka $2x=100 implies x=50$. Titik (50, 0).
  Karena $2x + y le 100$, daerahnya berada di bawah garis ini (atau pada garisnya).
- Garis $x + 3y = 90$:
  Jika $x=0$, maka $3y=90 implies y=30$. Titik (0, 30).
  Jika $y=0$, maka $x=90$. Titik (90, 0).
  Karena $x + 3y le 90$, daerahnya berada di bawah garis ini (atau pada garisnya).
- Karena $x ge 0$ dan $y ge 0$, kita hanya mempertimbangkan kuadran pertama.
DPF akan dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis $2x + y = 100$, dan garis $x + 3y = 90$.
Tentukan Titik-titik Sudut DPF:
- Titik O: Perpotongan sumbu x dan sumbu y, yaitu (0, 0).
- Titik A: Perpotongan sumbu x dengan garis $2x + y = 100$, yaitu (50, 0).
- Titik B: Perpotongan sumbu y dengan garis $x + 3y = 90$, yaitu (0, 30).
- Titik C: Perpotongan garis $2x + y = 100$ dan $x + 3y = 90$.
  Untuk mencari titik C, kita selesaikan sistem persamaan:
  (1) $2x + y = 100 implies y = 100 – 2x$
  (2) $x + 3y = 90$
  Substitusikan (1) ke (2):
  $x + 3(100 – 2x) = 90$
  $x + 300 – 6x = 90$
  $-5x = 90 – 300$
  $-5x = -210$
  $x = 42$
  Substitusikan nilai $x=42$ ke $y = 100 – 2x$:
  $y = 100 – 2(42)$
  $y = 100 – 84$
  $y = 16$
  Jadi, titik C adalah (42, 16).
Uji Titik-titik Sudut pada Fungsi Tujuan:
- Di titik O (0, 0): $f(0, 0) = 5000(0) + 4000(0) = 0$
- Di titik A (50, 0): $f(50, 0) = 5000(50) + 4000(0) = 250.000$
- Di titik B (0, 30): $f(0, 30) = 5000(0) + 4000(30) = 120.000$
- Di titik C (42, 16): $f(42, 16) = 5000(42) + 4000(16) = 210.000 + 64.000 = 274.000$
Kesimpulan:
Keuntungan maksimum adalah Rp 274.000,00 yang diperoleh jika memproduksi 42 unit produk A dan 16 unit produk B.

Bab 2: Matriks

Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom. Matriks memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, ekonomi, dan ilmu komputer. Di kelas 11, kita akan fokus pada operasi dasar dan beberapa sifat penting matriks.

Konsep Kunci:

Ordo Matriks: Jumlah baris $times$ jumlah kolom.
Jenis Matriks: Persegi, identitas, nol, diagonal, segitiga atas/bawah.
Kesamaan Matriks: Dua matriks sama jika memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian sama.
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks: Dilakukan jika ordo kedua matriks sama, dengan menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian.
Perkalian Skalar: Mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar.
Perkalian Matriks: Dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Elemen pada baris $i$ dan kolom $j$ dari hasil perkalian adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen pada baris $i$ matriks pertama dengan elemen-elemen pada kolom $j$ matriks kedua.
Determinan Matriks (Ordo 2×2): Untuk matriks $beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, determinannya adalah $ad – bc$.
Invers Matriks (Ordo 2×2): Untuk matriks $A = beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, inversnya adalah $A^-1 = frac1ad-bc beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$, asalkan $ad-bc ne 0$.

Contoh Soal 2.1 (Operasi Dasar):

Diberikan matriks-matriks berikut:
$A = beginpmatrix 1 & -2 3 & 0 endpmatrix$, $B = beginpmatrix 4 & 5 -1 & 2 endpmatrix$, $C = beginpmatrix 2 -3 endpmatrix$, $D = beginpmatrix -1 & 3 endpmatrix$

Tentukan:
a. $A + B$
b. $2A – B$
c. $A times C$
d. $D times A$

Pembahasan Soal 2.1:

a. $A + B$: Kedua matriks berordo 2×2, jadi bisa dijumlahkan.
$A + B = beginpmatrix 1 & -2 3 & 0 endpmatrix + beginpmatrix 4 & 5 -1 & 2 endpmatrix = beginpmatrix 1+4 & -2+5 3+(-1) & 0+2 endpmatrix = beginpmatrix 5 & 3 2 & 2 endpmatrix$

b. $2A – B$:
Pertama, hitung $2A$:
$2A = 2 beginpmatrix 1 & -2 3 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 1 & 2 times (-2) 2 times 3 & 2 times 0 endpmatrix = beginpmatrix 2 & -4 6 & 0 endpmatrix$
Kemudian, kurangkan dengan $B$:
$2A – B = beginpmatrix 2 & -4 6 & 0 endpmatrix – beginpmatrix 4 & 5 -1 & 2 endpmatrix = beginpmatrix 2-4 & -4-5 6-(-1) & 0-2 endpmatrix = beginpmatrix -2 & -9 7 & -2 endpmatrix$

c. $A times C$: Matriks $A$ berordo 2×2, matriks $C$ berordo 2×1. Jumlah kolom $A$ (2) sama dengan jumlah baris $C$ (2), jadi perkalian bisa dilakukan. Hasilnya akan berordo 2×1.
$A times C = beginpmatrix 1 & -2 3 & 0 endpmatrix beginpmatrix 2 -3 endpmatrix = beginpmatrix (1 times 2) + (-2 times -3) (3 times 2) + (0 times -3) endpmatrix = beginpmatrix 2 + 6 6 + 0 endpmatrix = beginpmatrix 8 6 endpmatrix$

d. $D times A$: Matriks $D$ berordo 1×2, matriks $A$ berordo 2×2. Jumlah kolom $D$ (2) sama dengan jumlah baris $A$ (2), jadi perkalian bisa dilakukan. Hasilnya akan berordo 1×2.
$D times A = beginpmatrix -1 & 3 endpmatrix beginpmatrix 1 & -2 3 & 0 endpmatrix = beginpmatrix (-1 times 1) + (3 times 3) & (-1 times -2) + (3 times 0) endpmatrix = beginpmatrix -1 + 9 & 2 + 0 endpmatrix = beginpmatrix 8 & 2 endpmatrix$

Contoh Soal 2.2 (Determinan dan Invers):

Diberikan matriks $P = beginpmatrix 3 & 1 2 & 4 endpmatrix$. Tentukan:
a. Determinan matriks $P$.
b. Invers matriks $P$.

Pembahasan Soal 2.2:

a. Determinan matriks $P$:
Untuk $P = beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, determinan adalah $ad – bc$.
Dalam kasus ini, $a=3$, $b=1$, $c=2$, $d=4$.
$det(P) = (3 times 4) – (1 times 2) = 12 – 2 = 10$.

b. Invers matriks $P$:
Rumus invers untuk matriks 2×2 adalah $P^-1 = frac1det(P) beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$.
Kita sudah mendapatkan $det(P) = 10$.
$P^-1 = frac110 beginpmatrix 4 & -1 -2 & 3 endpmatrix = beginpmatrix frac410 & -frac110 -frac210 & frac310 endpmatrix = beginpmatrix frac25 & -frac110 -frac15 & frac310 endpmatrix$

Bab 3: Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi atau bentuk suatu objek pada bidang datar. Transformasi dasar yang akan kita pelajari adalah translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Konsep matriks seringkali digunakan untuk merepresentasikan dan menghitung hasil transformasi ini.

Konsep Kunci:

Translasi (Pergeseran): Memindahkan setiap titik sejauh jarak dan arah tertentu. Jika titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh vektor $beginpmatrix a b endpmatrix$, maka bayangannya adalah $(x+a, y+b)$.
Refleksi (Pencerminan): Mencerminkan titik terhadap suatu garis atau titik.
- Terhadap sumbu X: $(x, y) to (x, -y)$
- Terhadap sumbu Y: $(x, y) to (-x, y)$
- Terhadap garis $y=x$: $(x, y) to (y, x)$
- Terhadap garis $y=-x$: $(x, y) to (-y, -x)$
- Terhadap titik asal (0,0): $(x, y) to (-x, -y)$
- Terhadap garis $x=h$: $(x, y) to (2h-x, y)$
- Terhadap garis $y=k$: $(x, y) to (x, 2k-y)$
Rotasi (Perputaran): Memutar titik mengelilingi suatu pusat rotasi sejauh sudut tertentu.
- Rotasi $R_(0, theta)$ sebesar $theta$ mengelilingi titik asal:
  $beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = beginpmatrix costheta & -sintheta sintheta & costheta endpmatrix beginpmatrix x y endpmatrix$
Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan): Mengubah ukuran objek dengan faktor skala tertentu dari suatu pusat dilatasi.
- Dilatasi dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$: $(x, y) to (kx, ky)$.
- Dilatasi dengan pusat $(a, b)$ dan faktor skala $k$: $(x, y) to (a+k(x-a), b+k(y-b))$.

Contoh Soal 3.1:

Tentukan bayangan titik $P(3, -2)$ setelah mengalami transformasi berikut:
a. Translasi oleh vektor $beginpmatrix -1 4 endpmatrix$.
b. Refleksi terhadap garis $y = x$.
c. Rotasi sebesar $90^circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Pembahasan Soal 3.1:

a. Translasi:
Titik $P(3, -2)$ ditranslasikan oleh $beginpmatrix -1 4 endpmatrix$.
Bayangan $P'(x’, y’)$ adalah:
$x’ = 3 + (-1) = 2$
$y’ = -2 + 4 = 2$
Jadi, bayangan titik P adalah $P'(2, 2)$.

b. Refleksi terhadap garis $y=x$:
Jika titik $(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y=x$, bayangannya adalah $(y, x)$.
Titik $P(3, -2)$, maka $x=3$ dan $y=-2$.
Bayangan $P'(y, x) = (-2, 3)$.
Jadi, bayangan titik P adalah $P'(-2, 3)$.

c. Rotasi sebesar $90^circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal:
Besar sudut rotasi $theta = 90^circ$. Nilai $cos(90^circ) = 0$ dan $sin(90^circ) = 1$.
Matriks rotasi adalah $beginpmatrix cos 90^circ & -sin 90^circ sin 90^circ & cos 90^circ endpmatrix = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix$.
Titik $P(3, -2)$, sehingga $beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix 3 -2 endpmatrix$.
$beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix beginpmatrix 3 -2 endpmatrix = beginpmatrix (0 times 3) + (-1 times -2) (1 times 3) + (0 times -2) endpmatrix = beginpmatrix 0 + 2 3 + 0 endpmatrix = beginpmatrix 2 3 endpmatrix$.
Jadi, bayangan titik P adalah $P'(2, 3)$.

Contoh Soal 3.2 (Komposisi Transformasi):

Bayangan titik $A(1, 2)$ setelah ditransformasi oleh matriks $T = beginpmatrix 0 & 1 -1 & 0 endpmatrix$ dilanjutkan dengan translasi $beginpmatrix 3 -1 endpmatrix$ adalah $A”(x”, y”)$. Tentukan koordinat $A”$.

Pembahasan Soal 3.2:

Transformasi Pertama (oleh matriks T):
Matriks $T = beginpmatrix 0 & 1 -1 & 0 endpmatrix$ merepresentasikan rotasi sebesar $-90^circ$ (atau $270^circ$) berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.
Titik $A(1, 2)$, sehingga $beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix 1 2 endpmatrix$.
$beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = beginpmatrix 0 & 1 -1 & 0 endpmatrix beginpmatrix 1 2 endpmatrix = beginpmatrix (0 times 1) + (1 times 2) (-1 times 1) + (0 times 2) endpmatrix = beginpmatrix 0 + 2 -1 + 0 endpmatrix = beginpmatrix 2 -1 endpmatrix$.
Jadi, bayangan pertama adalah $A'(2, -1)$.
Transformasi Kedua (Translasi):
Titik $A'(2, -1)$ ditranslasikan oleh vektor $beginpmatrix 3 -1 endpmatrix$.
Bayangan $A”(x”, y”)$ adalah:
$x” = 2 + 3 = 5$
$y” = -1 + (-1) = -2$
Jadi, koordinat $A”$ adalah $(5, -2)$.

Penutup

Menguasai materi Matematika Wajib Kelas 11 Semester 1 merupakan langkah awal yang krusial untuk kesuksesan di jenjang pendidikan selanjutnya. Dengan memahami konsep-konsep dasar program linear, matriks, dan transformasi geometri, serta berlatih soal-soal seperti yang telah disajikan, Anda akan memiliki bekal yang kuat.

Ingatlah bahwa kunci keberhasilan dalam matematika adalah pemahaman konseptual yang kuat, latihan yang konsisten, dan kemampuan untuk menghubungkan berbagai topik. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru, berdiskusi dengan teman, dan mencari sumber belajar tambahan. Teruslah berlatih, karena setiap soal yang Anda kerjakan akan membawa Anda lebih dekat pada penguasaan materi. Selamat belajar dan semoga sukses!

staialbayanmks.ac.id