Contoh soal matematika wajib kelas 11 semester 1 dan pembahasannya

Menguasai Matematika Wajib Kelas 11 Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika wajib kelas 11 semester 1 merupakan gerbang penting bagi siswa untuk memperdalam pemahaman konsep-konsep fundamental yang akan menjadi bekal di jenjang pendidikan tinggi, terutama di bidang sains dan teknologi. Materi yang disajikan pada semester ini umumnya berfokus pada topik-topik yang menantang namun sangat relevan, seperti Fungsi Eksponen dan Logaritma, Trigonometri, Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, serta program Linear.

Memahami setiap konsep secara mendalam, bukan hanya menghafal rumus, adalah kunci keberhasilan. Artikel ini akan memandu Anda melalui contoh-contoh soal representatif dari setiap topik utama, disertai dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya bisa mengerjakan soal, tetapi juga mengerti mengapa solusi tersebut benar dan bagaimana menerapkan logika matematika yang mendasarinya.

Mari kita selami setiap materi beserta contoh soalnya:

1. Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi eksponen dan logaritma adalah dua sisi dari mata uang yang sama. Memahami hubungan invers antara keduanya sangat krusial.

Konsep Kunci:

Fungsi Eksponen: $f(x) = a^x$, di mana $a > 0$ dan $a neq 1$.
Sifat-sifat Eksponen: $a^m cdot a^n = a^m+n$, $fraca^ma^n = a^m-n$, $(a^m)^n = a^m cdot n$, $(ab)^n = a^n b^n$, $(fracab)^n = fraca^nb^n$, $a^0 = 1$, $a^-n = frac1a^n$.
Fungsi Logaritma: $f(x) = log_a x$, di mana $a > 0$, $a neq 1$, dan $x > 0$. Ini adalah invers dari fungsi eksponen, artinya $y = log_a x Leftrightarrow x = a^y$.
Sifat-sifat Logaritma: $log_a (MN) = log_a M + log_a N$, $log_a (fracMN) = log_a M – log_a N$, $log_a M^n = n log_a M$, $log_a a = 1$, $log_a 1 = 0$, $log_a b = fraclog_c blog_c a$ (sifat perubahan basis).

Contoh Soal 1:

Sederhanakan bentuk $frac(3x^2y^-1)^3(9x^-1y^2)^2$!

Pembahasan:

Langkah pertama adalah menerapkan sifat pangkat pada setiap suku.

Pembilang: $(3x^2y^-1)^3 = 3^3 cdot (x^2)^3 cdot (y^-1)^3 = 27 cdot x^2 cdot 3 cdot y^-1 cdot 3 = 27x^6y^-3$
Penyebut: $(9x^-1y^2)^2 = 9^2 cdot (x^-1)^2 cdot (y^2)^2 = 81 cdot x^-1 cdot 2 cdot y^2 cdot 2 = 81x^-2y^4$

Sekarang, gabungkan kembali menjadi satu pecahan:

$frac27x^6y^-381x^-2y^4$

Selanjutnya, sederhanakan koefisien dan gunakan sifat pembagian eksponen:

Koefisien: $frac2781 = frac13$
Variabel x: $fracx^6x^-2 = x^6 – (-2) = x^6+2 = x^8$
Variabel y: $fracy^-3y^4 = y^-3 – 4 = y^-7$

Jadi, bentuk sederhananya adalah $frac13x^8y^-7$. Kita bisa menulis ulang $y^-7$ sebagai $frac1y^7$ untuk mendapatkan bentuk yang lebih umum:

$fracx^83y^7$

Contoh Soal 2:

Tentukan nilai $x$ dari persamaan $log_2 (x-1) + log_2 (x+1) = 3$.

Pembahasan:

Persamaan ini melibatkan logaritma. Kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakannya.

Gabungkan logaritma: Gunakan sifat $log_a M + log_a N = log_a (MN)$.
$log_2 ((x-1)(x+1)) = 3$
Sederhanakan bentuk di dalam logaritma: $(x-1)(x+1)$ adalah bentuk selisih dua kuadrat, yaitu $x^2 – 1^2 = x^2 – 1$.
$log_2 (x^2 – 1) = 3$
Ubah ke bentuk eksponen: Ingat bahwa $log_a b = c Leftrightarrow a^c = b$.
$2^3 = x^2 – 1$
Hitung dan selesaikan persamaan kuadrat:
$8 = x^2 – 1$
$x^2 = 8 + 1$
$x^2 = 9$
$x = pm sqrt9$
$x = pm 3$
Periksa syarat numerus logaritma: Syarat agar logaritma terdefinisi adalah numerusnya harus positif.
- Untuk $x=3$:
  - $x-1 = 3-1 = 2 > 0$ (Memenuhi)
  - $x+1 = 3+1 = 4 > 0$ (Memenuhi)
- Untuk $x=-3$:
  - $x-1 = -3-1 = -4 < 0$ (Tidak Memenuhi)
  - $x+1 = -3+1 = -2 < 0$ (Tidak Memenuhi)

Karena $x=-3$ tidak memenuhi syarat numerus, maka solusi yang valid adalah $x=3$.

2. Trigonometri

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Kelas 11 semester 1 biasanya mencakup identitas trigonometri, rumus jumlah dan selisih sudut, serta aplikasi dalam pemecahan masalah.

Konsep Kunci:

Definisi Perbandingan Trigonometri: Pada segitiga siku-siku, sin ($theta$) = $fractextdepantextmiring$, cos ($theta$) = $fractextsampingtextmiring$, tan ($theta$) = $fractextdepantextsamping$.
Identitas Dasar: $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$, $tan theta = fracsin thetacos theta$, $1 + tan^2 theta = sec^2 theta$, $1 + cot^2 theta = csc^2 theta$.
Rumus Jumlah dan Selisih Sudut:
- $sin(A pm B) = sin A cos B pm cos A sin B$
- $cos(A pm B) = cos A cos B mp sin A sin B$
- $tan(A pm B) = fractan A pm tan B1 mp tan A tan B$
Rumus Sudut Ganda: $sin 2A = 2 sin A cos A$, $cos 2A = cos^2 A – sin^2 A = 2cos^2 A – 1 = 1 – 2sin^2 A$.

Contoh Soal 3:

Jika $sin alpha = frac35$ dan $alpha$ berada di kuadran I, tentukan nilai $cos alpha$ dan $tan alpha$.

Pembahasan:

Kita dapat menggunakan identitas dasar trigonometri untuk menyelesaikan soal ini.

Mencari $cos alpha$: Gunakan identitas $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$.
$(frac35)^2 + cos^2 alpha = 1$
$frac925 + cos^2 alpha = 1$
$cos^2 alpha = 1 – frac925$
$cos^2 alpha = frac25-925$
$cos^2 alpha = frac1625$
$cos alpha = pm sqrtfrac1625 = pm frac45$

Karena $alpha$ berada di kuadran I, nilai cosinus adalah positif. Jadi, $cos alpha = frac45$.
Mencari $tan alpha$: Gunakan identitas $tan alpha = fracsin alphacos alpha$.
$tan alpha = fracfrac35frac45$
$tan alpha = frac35 times frac54$
$tan alpha = frac34$

Contoh Soal 4:

Hitung nilai dari $cos(75^circ)$ tanpa menggunakan kalkulator.

Pembahasan:

Kita dapat menggunakan rumus jumlah atau selisih sudut untuk menghitung nilai ini. Sudut $75^circ$ dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua sudut yang nilainya sudah kita ketahui, misalnya $45^circ + 30^circ$.

Gunakan rumus $cos(A+B)$: $cos(A+B) = cos A cos B – sin A sin B$.
Misalkan $A = 45^circ$ dan $B = 30^circ$.
$cos(75^circ) = cos(45^circ + 30^circ) = cos 45^circ cos 30^circ – sin 45^circ sin 30^circ$
Substitusikan nilai-nilai trigonometri yang diketahui:
- $cos 45^circ = fracsqrt22$
- $cos 30^circ = fracsqrt32$
- $sin 45^circ = fracsqrt22$
- $sin 30^circ = frac12$
$cos(75^circ) = (fracsqrt22)(fracsqrt32) – (fracsqrt22)(frac12)$
$cos(75^circ) = fracsqrt64 – fracsqrt24$
$cos(75^circ) = fracsqrt6 – sqrt24$

3. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

SPLTV adalah sistem yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang tidak diketahui.

Konsep Kunci:

Bentuk Umum:
$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$
Metode Penyelesaian: Eliminasi, Substitusi, dan Determinan (menggunakan aturan Cramer).

Contoh Soal 5:

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut:
$x + y + z = 6$
$x – y + 2z = 2$
$2x + y – z = 1$

Pembahasan (Menggunakan Metode Eliminasi):

Eliminasi variabel y dari Persamaan (1) dan (2):
(1) $x + y + z = 6$
(2) $x – y + 2z = 2$
—————— (+)
$2x + 3z = 8$ (Persamaan 4)
Eliminasi variabel y dari Persamaan (1) dan (3):
(1) $x + y + z = 6$
(3) $2x + y – z = 1$
—————— (-)
$(x – 2x) + (y – y) + (z – (-z)) = 6 – 1$
$-x + 2z = 5$ (Persamaan 5)
Sekarang kita punya SPLDV dari Persamaan (4) dan (5):
(4) $2x + 3z = 8$
(5) $-x + 2z = 5$
Eliminasi variabel x dari Persamaan (4) dan (5):
Kalikan Persamaan (5) dengan 2 agar koefisien x sama dengan Persamaan (4).
(4) $2x + 3z = 8$
(5′) $-2x + 4z = 10$ (Hasil dari $2 times (-x + 2z = 5)$)
—————— (+)
$7z = 18$
$z = frac187$
Substitusikan nilai z ke salah satu persamaan SPLDV (misalnya Persamaan 5) untuk mencari x:
$-x + 2z = 5$
$-x + 2(frac187) = 5$
$-x + frac367 = 5$
$-x = 5 – frac367$
$-x = frac357 – frac367$
$-x = -frac17$
$x = frac17$
Substitusikan nilai x dan z ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 1) untuk mencari y:
$x + y + z = 6$
$frac17 + y + frac187 = 6$
$y + frac197 = 6$
$y = 6 – frac197$
$y = frac427 – frac197$
$y = frac237$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y, z) = (frac17, frac237, frac187)$.

4. Program Linear

Program linear berkaitan dengan pencarian nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif, dengan kendala-kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.

Konsep Kunci:

Fungsi Objektif: Fungsi yang nilainya ingin dioptimumkan, biasanya berbentuk $f(x, y) = ax + by$.
Kendala: Pertidaksamaan linear yang membatasi nilai variabel $x$ dan $y$.
Daerah Feasible: Himpunan semua titik $(x, y)$ yang memenuhi semua kendala.
Titik Optimum: Titik di daerah feasible yang memberikan nilai maksimum atau minimum pada fungsi objektif. Titik optimum selalu terletak pada titik pojok daerah feasible.

Contoh Soal 6:

Seorang pedagang menjual dua jenis barang A dan B. Untuk jenis A, ia memperoleh keuntungan Rp 2.000 per unit dan untuk jenis B, ia memperoleh keuntungan Rp 3.000 per unit. Modal yang tersedia adalah Rp 1.200.000. Harga beli barang A adalah Rp 4.000 per unit dan barang B adalah Rp 6.000 per unit. Pedagang tersebut membeli barang A paling sedikit 100 unit dan paling banyak 200 unit. Jumlah barang B yang dibeli paling banyak 150 unit. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut dan tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang!

Pembahasan:

Definisikan variabel:
Misalkan:
- $x$ = jumlah unit barang A yang dibeli
- $y$ = jumlah unit barang B yang dibeli
Tentukan fungsi objektif:
Keuntungan ($Z$) adalah yang ingin dimaksimalkan.
$Z = 2000x + 3000y$
Buat model matematika (kendala):
- Kendala Modal:
  Harga beli A (Rp 4.000) $times$ jumlah A ($x$) + Harga beli B (Rp 6.000) $times$ jumlah B ($y$) $le$ Modal tersedia (Rp 1.200.000)
  $4000x + 6000y le 1200000$
  Bagi dengan 2000: $2x + 3y le 600$
- Kendala Jumlah Barang A:
  Paling sedikit 100 unit: $x ge 100$
  Paling banyak 200 unit: $x le 200$
- Kendala Jumlah Barang B:
  Paling banyak 150 unit: $y le 150$
- Kendala Non-negatif: Jumlah barang tidak mungkin negatif.
  $x ge 0$ (sudah tercakup oleh $x ge 100$)
  $y ge 0$
Model Matematika:
Fungsi Objektif: $Z = 2000x + 3000y$
Kendala:
$2x + 3y le 600$
$100 le x le 200$
$0 le y le 150$
Gambar daerah feasible:
- Garis $2x + 3y = 600$: Titik potong sumbu x (y=0) $Rightarrow 2x = 600 Rightarrow x = 300$. Titik (300, 0). Titik potong sumbu y (x=0) $Rightarrow 3y = 600 Rightarrow y = 200$. Titik (0, 200).
- Garis $x = 100$ (garis vertikal)
- Garis $x = 200$ (garis vertikal)
- Garis $y = 0$ (sumbu x)
- Garis $y = 150$ (garis horizontal)
Daerah feasible dibatasi oleh keempat kendala ini.
Tentukan titik-titik pojok daerah feasible:
- Titik A: Perpotongan $x=100$ dan $y=0$. A(100, 0).
- Titik B: Perpotongan $x=200$ dan $y=0$. B(200, 0).
- Titik C: Perpotongan $x=200$ dan $2x + 3y = 600$.
  $2(200) + 3y = 600 Rightarrow 400 + 3y = 600 Rightarrow 3y = 200 Rightarrow y = frac2003$. C(200, 200/3).
- Titik D: Perpotongan $2x + 3y = 600$ dan $y=150$.
  $2x + 3(150) = 600 Rightarrow 2x + 450 = 600 Rightarrow 2x = 150 Rightarrow x = 75$. Namun, kendala $x ge 100$ tidak terpenuhi. Jadi, titik ini bukan titik pojok daerah feasible. Kita perlu mencari perpotongan $2x + 3y = 600$ dengan $x=100$.
- Titik E: Perpotongan $2x + 3y = 600$ dan $x=100$.
  $2(100) + 3y = 600 Rightarrow 200 + 3y = 600 Rightarrow 3y = 400 Rightarrow y = frac4003$. Namun, kendala $y le 150$ tidak terpenuhi ($frac4003 approx 133.3$). Jadi, titik ini bukan titik pojok daerah feasible.
Mari kita gambar ulang dengan hati-hati:
Kendala:
1. $2x + 3y le 600$
2. $x ge 100$
3. $x le 200$
4. $y le 150$
5. $y ge 0$
Titik pojok:
- Perpotongan $x=100$ dan $y=0$: P1(100, 0)
- Perpotongan $x=200$ dan $y=0$: P2(200, 0)
- Perpotongan $x=200$ dan $2x+3y=600$: $2(200)+3y=600 Rightarrow 400+3y=600 Rightarrow 3y=200 Rightarrow y=200/3$. Karena $200/3 approx 66.67 le 150$, maka P3(200, 200/3) adalah titik pojok.
- Perpotongan $y=150$ dan $2x+3y=600$: $2x+3(150)=600 Rightarrow 2x+450=600 Rightarrow 2x=150 Rightarrow x=75$. Namun, kendala $x ge 100$ tidak terpenuhi. Jadi, titik ini bukan titik pojok.
- Perpotongan $y=150$ dan $x=100$: P4(100, 150). Cek kendala $2x+3y le 600$: $2(100)+3(150) = 200+450 = 650$. Ini tidak memenuhi $2x+3y le 600$. Jadi, titik ini bukan titik pojok.
Perpotongan antara $2x+3y=600$ dan $y=150$ adalah $x=75$, yang tidak valid.
Perpotongan antara $2x+3y=600$ dan $x=100$ adalah $y=400/3$, yang tidak valid karena $y le 150$.

Titik pojok yang benar adalah perpotongan dari garis-garis batas yang membentuk daerah feasible.
- Titik A: $x=100$, $y=0$. A(100, 0).
- Titik B: $x=200$, $y=0$. B(200, 0).
- Titik C: $x=200$, $2x+3y=600 implies 400+3y=600 implies 3y=200 implies y=200/3$. C(200, 200/3).
- Titik D: Perpotongan $y=150$ dan $2x+3y=600$. $2x+3(150)=600 implies 2x+450=600 implies 2x=150 implies x=75$. Kendala $x ge 100$ tidak terpenuhi.
- Titik E: Perpotongan $y=150$ dan $x=100$. $2(100)+3(150)=200+450=650$. Ini tidak memenuhi $2x+3y le 600$.
Titik pojok yang memenuhi semua kendala adalah:
- Perpotongan $x=100$ dan $y=0$: P1(100, 0)
- Perpotongan $x=200$ dan $y=0$: P2(200, 0)
- Perpotongan $x=200$ dan $2x+3y=600$: P3(200, 200/3). $y=200/3 approx 66.67 le 150$.
- Perpotongan $y=150$ dan $2x+3y=600$. Ini menghasilkan $x=75$, yang tidak memenuhi $x ge 100$.
- Perpotongan $y=150$ dan $x=100$. Ini menghasilkan $2x+3y=650$, yang tidak memenuhi $2x+3y le 600$.
Kita perlu mencari perpotongan antara garis $2x+3y=600$ dan $y=150$, namun kita harus mempertimbangkan batasan $x ge 100$. Jika $y=150$, maka $2x+3(150) le 600 implies 2x+450 le 600 implies 2x le 150 implies x le 75$. Ini bertentangan dengan $x ge 100$.

Mari kita periksa kembali daerah feasible:
- $x$ antara 100 dan 200.
- $y$ antara 0 dan 150.
- $2x + 3y le 600$.
Titik pojok adalah:
1. A(100, 0): Memenuhi semua.
2. B(200, 0): Memenuhi semua.
3. C(200, 200/3): $x=200$ (antara 100-200), $y=200/3 approx 66.67$ (antara 0-150), $2(200)+3(200/3)=400+200=600 le 600$. C(200, 200/3) valid.
4. Perpotongan $y=150$ dan $2x+3y=600$. Ini memberikan $x=75$. Tapi kita butuh $x ge 100$. Jadi, garis $y=150$ tidak memotong daerah feasible untuk $x ge 100$ di bawah garis $2x+3y=600$.
5. Perpotongan $x=100$ dan $2x+3y=600$. $2(100)+3y=600 implies 200+3y=600 implies 3y=400 implies y=400/3$. $y=400/3 approx 133.33 le 150$. D(100, 400/3) valid.
Titik pojok yang benar adalah: A(100, 0), B(200, 0), C(200, 200/3), D(100, 400/3).
Hitung nilai fungsi objektif di setiap titik pojok:
- Z(100, 0) = $2000(100) + 3000(0) = 200000$
- Z(200, 0) = $2000(200) + 3000(0) = 400000$
- Z(200, 200/3) = $2000(200) + 3000(200/3) = 400000 + 2000(200) = 400000 + 400000 = 800000$
- Z(100, 400/3) = $2000(100) + 3000(400/3) = 200000 + 1000(400) = 200000 + 400000 = 600000$
Tentukan nilai maksimum:
Nilai keuntungan maksimum adalah Rp 800.000, yang dicapai ketika pedagang membeli 200 unit barang A dan 200/3 unit barang B. Karena unit barang harus bilangan bulat, kita perlu memeriksa titik-titik terdekat di dalam daerah feasible jika diperlukan. Namun, dalam konteks soal ini, kita asumsikan bisa membeli pecahan unit atau nilai pembulatan yang terdekat. Jika harus bulat, maka perlu analisis lebih lanjut. Asumsi soal ini, nilai optimum didapat dari titik pojok.

Kesimpulan:

Menguasai materi matematika wajib kelas 11 semester 1 membutuhkan latihan yang konsisten dan pemahaman mendalam tentang konsep-konsep yang diajarkan. Dengan memahami contoh soal dan pembahasannya seperti yang disajikan di atas, Anda diharapkan dapat membangun fondasi yang kuat untuk menghadapi berbagai tantangan matematika di masa depan. Ingatlah untuk selalu mencoba mengerjakan soal sendiri terlebih dahulu sebelum melihat pembahasannya, agar proses belajar Anda lebih efektif.

staialbayanmks.ac.id