staialbayanmks.ac.id

Kurikulum 2013 pada jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA) dirancang untuk membekali siswa dengan pemahaman konsep matematika yang kuat, yang menjadi pondasi penting untuk studi lebih lanjut. Di kelas 10 semester 1, fokus utama pembelajaran matematika wajib sering kali tertuju pada dua pilar fundamental: Aljabar dan Trigonometri Dasar. Memahami kedua topik ini secara mendalam akan membuka jalan bagi penguasaan materi-materi yang lebih kompleks di semester berikutnya dan jenjang selanjutnya.

Artikel ini akan mengupas tuntas contoh-contoh soal matematika wajib kelas 10 semester 1 kurikulum 2013, disertai dengan penjelasan langkah demi langkah untuk membantu siswa memahami setiap konsep yang diujikan. Kita akan menjelajahi berbagai tipe soal yang umum muncul, mulai dari penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear, sistem persamaan linear, hingga pengenalan konsep trigonometri dasar pada segitiga siku-siku.

Bagian 1: Aljabar – Fondasi Logika dan Penyelesaian Masalah

Aljabar adalah bahasa universal matematika yang memungkinkan kita untuk merepresentasikan hubungan antar kuantitas menggunakan simbol. Di kelas 10, siswa akan diperkenalkan dengan berbagai bentuk ekspresi aljabar dan cara memanipulasinya untuk menyelesaikan masalah.

1. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Materi ini mengajarkan siswa cara mencari nilai variabel yang memenuhi suatu kesamaan (persamaan) atau ketidaksetaraan (pertidaksamaan).

• Contoh Soal 1 (Persamaan Linear):
  Tentukan nilai $x$ dari persamaan $frac13(2x – 5) = 4$.

  Pembahasan:
  Langkah pertama adalah menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan 3:
  $3 times frac13(2x – 5) = 3 times 4$
  $2x – 5 = 12$

  Selanjutnya, tambahkan 5 ke kedua ruas untuk mengisolasi suku yang mengandung $x$:
  $2x – 5 + 5 = 12 + 5$
  $2x = 17$

  Terakhir, bagi kedua ruas dengan 2 untuk mendapatkan nilai $x$:
  $frac2x2 = frac172$
  $x = frac172$ atau $x = 8.5$

  Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $frac172$ atau $8.5$.

• Contoh Soal 2 (Pertidaksamaan Linear):
  Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $3(y + 2) le 5y – 4$.

  Pembahasan:
  Distribusikan 3 ke dalam tanda kurung:
  $3y + 6 le 5y – 4$

  Pindahkan suku-suku yang mengandung $y$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain. Kita pindahkan $3y$ ke ruas kanan dan $-4$ ke ruas kiri:
  $6 + 4 le 5y – 3y$
  $10 le 2y$

  Bagi kedua ruas dengan 2:
  $frac102 le frac2y2$
  $5 le y$

  Ini berarti $y$ harus lebih besar dari atau sama dengan 5. Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis sebagai $y mid y ge 5$.

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV melibatkan dua persamaan linear dengan dua variabel yang saling terkait. Tujuannya adalah mencari nilai kedua variabel yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan. Metode penyelesaian yang umum digunakan adalah substitusi, eliminasi, atau gabungan keduanya.

• Contoh Soal 3 (SPLDV dengan Metode Eliminasi):
  Tentukan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan berikut:
  Persamaan 1: $2x + y = 7$
  Persamaan 2: $x – y = 2$

  Pembahasan:
  Kita akan menggunakan metode eliminasi. Perhatikan bahwa koefisien $y$ pada Persamaan 1 adalah $+1$ dan pada Persamaan 2 adalah $-1$. Jika kita menjumlahkan kedua persamaan, variabel $y$ akan tereliminasi:
  $(2x + y) + (x – y) = 7 + 2$
  $2x + x + y – y = 9$
  $3x = 9$

  Bagi kedua ruas dengan 3:
  $frac3x3 = frac93$
  $x = 3$

  Setelah mendapatkan nilai $x$, substitusikan nilai $x$ ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai $y$. Kita gunakan Persamaan 2:
  $x – y = 2$
  $3 – y = 2$

  Kurangi kedua ruas dengan 3:
  $3 – y – 3 = 2 – 3$
  $-y = -1$

  Kalikan kedua ruas dengan $-1$:
  $y = 1$

  Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah $x = 3$ dan $y = 1$.

• Contoh Soal 4 (SPLDV dengan Metode Substitusi):
  Tentukan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan berikut:
  Persamaan 1: $x + 2y = 5$
  Persamaan 2: $3x – y = 4$

  Pembahasan:
  Kita akan menggunakan metode substitusi. Ubah salah satu persamaan agar salah satu variabelnya diisolasi. Dari Persamaan 1, kita bisa mengisolasi $x$:
  $x = 5 – 2y$

  Sekarang, substitusikan ekspresi untuk $x$ ini ke dalam Persamaan 2:
  $3(5 – 2y) – y = 4$

  Distribusikan 3:
  $15 – 6y – y = 4$

  Gabungkan suku-suku yang mengandung $y$:
  $15 – 7y = 4$

  Pindahkan 15 ke ruas kanan:
  $-7y = 4 – 15$
  $-7y = -11$

  Bagi kedua ruas dengan $-7$:
  $frac-7y-7 = frac-11-7$
  $y = frac117$

  Sekarang, substitusikan nilai $y$ kembali ke ekspresi $x = 5 – 2y$:
  $x = 5 – 2(frac117)$
  $x = 5 – frac227$

  Samakan penyebutnya:
  $x = frac357 – frac227$
  $x = frac137$

  Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah $x = frac137$ dan $y = frac117$.

Bagian 2: Trigonometri Dasar – Memahami Sudut dan Sisi Segitiga

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga. Di kelas 10 semester 1, pengenalan ini biasanya terfokus pada segitiga siku-siku.

3. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Dalam segitiga siku-siku, terdapat tiga perbandingan trigonometri dasar: sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan). Perbandingan ini didefinisikan berdasarkan sisi-sisi segitiga relatif terhadap salah satu sudut lancipnya.

Misalkan kita memiliki segitiga siku-siku ABC, dengan sudut siku-siku di C. Sisi-sisi segitiga diberi nama sebagai berikut:

• Sisi di depan sudut A disebut sisi depan (depan A).
• Sisi di depan sudut B disebut sisi depan (depan B).
• Sisi di depan sudut C (sisi miring) disebut sisi miring (hipotenusa).
• Sisi yang berdekatan dengan sudut A, selain sisi miring, disebut sisi samping (samping A).
• Sisi yang berdekatan dengan sudut B, selain sisi miring, disebut sisi samping (samping B).

Jika kita meninjau dari sudut A:

• Sinus A (sin A) = $fractextsisi depan Atextsisi miring$

• Kosinus A (cos A) = $fractextsisi samping Atextsisi miring$

• Tangen A (tan A) = $fractextsisi depan Atextsisi samping A$

• Contoh Soal 5 (Menghitung Perbandingan Trigonometri):
  Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi siku-sikunya 8 cm dan 15 cm. Tentukan nilai $sin alpha$, $cos alpha$, dan $tan alpha$, jika $alpha$ adalah sudut yang berhadapan dengan sisi yang panjangnya 8 cm.

  Pembahasan:
  Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring segitiga menggunakan teorema Pythagoras. Misalkan sisi miring adalah $c$, dan sisi siku-sikunya adalah $a = 8$ cm dan $b = 15$ cm.
  $c^2 = a^2 + b^2$
  $c^2 = 8^2 + 15^2$
  $c^2 = 64 + 225$
  $c^2 = 289$
  $c = sqrt289$
  $c = 17$ cm

  Sekarang kita identifikasi sisi-sisi relatif terhadap sudut $alpha$. Sudut $alpha$ berhadapan dengan sisi yang panjangnya 8 cm (ini adalah sisi depan $alpha$). Sisi samping $alpha$ adalah sisi yang panjangnya 15 cm. Sisi miringnya adalah 17 cm.

  • $sin alpha = fractextsisi depan alphatextsisi miring = frac817$
  • $cos alpha = fractextsisi samping alphatextsisi miring = frac1517$
  • $tan alpha = fractextsisi depan alphatextsisi samping alpha = frac815$

• Contoh Soal 6 (Menentukan Sisi Segitiga Menggunakan Perbandingan Trigonometri):
  Diketahui segitiga siku-siku PQR, dengan siku-siku di Q. Jika $cos P = frac1213$ dan panjang sisi PQ = 24 cm, tentukan panjang sisi QR.

  Pembahasan:
  Dari $cos P = fractextsisi samping Ptextsisi miring$, kita tahu bahwa perbandingan sisi samping P terhadap sisi miring adalah 12:13.
  Sisi samping P adalah sisi PQ. Sisi miring adalah PR.
  Jadi, $cos P = fracPQPR = frac1213$.

  Kita diberi tahu bahwa PQ = 24 cm. Kita dapat membuat perbandingan:
  $frac24PR = frac1213$

  Untuk mencari PR, kita dapat mengalikan silang:
  $12 times PR = 24 times 13$
  $PR = frac24 times 1312$
  $PR = 2 times 13$
  $PR = 26$ cm

  Sekarang kita memiliki panjang PQ (sisi samping P) dan PR (sisi miring). Sisi QR adalah sisi depan P. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras:
  $PR^2 = PQ^2 + QR^2$
  $26^2 = 24^2 + QR^2$
  $676 = 576 + QR^2$

  Kurangi kedua ruas dengan 576:
  $QR^2 = 676 – 576$
  $QR^2 = 100$
  $QR = sqrt100$
  $QR = 10$ cm

  Atau, kita bisa menggunakan $tan P$. Pertama, cari $sin P$.
  Kita tahu $sin^2 P + cos^2 P = 1$.
  $sin^2 P + (frac1213)^2 = 1$
  $sin^2 P + frac144169 = 1$
  $sin^2 P = 1 – frac144169$
  $sin^2 P = frac169 – 144169$
  $sin^2 P = frac25169$
  $sin P = sqrtfrac25169 = frac513$ (karena P adalah sudut lancip)

  Sekarang, $tan P = fracsin Pcos P = frac5/1312/13 = frac512$.
  Kita tahu $tan P = fractextsisi depan Ptextsisi samping P = fracQRPQ$.
  $frac512 = fracQR24$

  $12 times QR = 5 times 24$
  $QR = frac5 times 2412$
  $QR = 5 times 2$
  $QR = 10$ cm

  Jadi, panjang sisi QR adalah 10 cm.

Kesimpulan

Menguasai materi aljabar dan trigonometri dasar di kelas 10 semester 1 adalah kunci keberhasilan dalam pembelajaran matematika selanjutnya. Dengan berlatih berbagai tipe soal seperti yang telah dibahas di atas, siswa dapat membangun pemahaman konseptual yang kuat dan meningkatkan kemampuan penyelesaian masalah mereka. Ingatlah bahwa konsistensi dalam belajar dan ketekunan dalam mengerjakan soal-soal latihan adalah cara terbaik untuk meraih hasil yang optimal.

Semoga contoh soal dan pembahasan ini dapat menjadi panduan yang bermanfaat bagi seluruh siswa dalam menaklukkan materi matematika wajib kelas 10 semester 1. Teruslah bertanya, berdiskusi, dan jangan pernah menyerah dalam proses belajar!