Memasuki jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA) membawa tantangan baru, termasuk dalam mata pelajaran Matematika Wajib. Semester 1 kelas 10 menjadi fondasi penting untuk pemahaman konsep-konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Materi yang disajikan biasanya meliputi fungsi, persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, dan terkadang sedikit pengantar trigonometri dasar.
Memahami materi ini secara mendalam tidak hanya penting untuk meraih nilai yang baik, tetapi juga untuk membangun kemampuan berpikir logis, analitis, dan pemecahan masalah yang krusial di berbagai bidang kehidupan. Artikel ini akan menjadi panduan komprehensif bagi siswa kelas 10 semester 1 dalam menguasai materi Matematika Wajib, lengkap dengan contoh soal yang relevan dan penyelesaian langkah demi langkah yang mudah dipahami.
I. Fungsi: Memahami Hubungan Antar Variabel
Konsep fungsi merupakan salah satu pilar utama dalam matematika. Memahami fungsi berarti memahami bagaimana satu nilai dapat menentukan nilai lainnya melalui suatu aturan. Dalam konteks matematika wajib kelas 10, kita akan fokus pada fungsi linear dan fungsi kuadrat.
A. Fungsi Linear
Fungsi linear adalah fungsi yang memiliki bentuk umum $f(x) = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan garis) dan $c$ adalah konstanta (titik potong sumbu y). Grafiknya selalu berupa garis lurus.
Contoh Soal 1: Menentukan Nilai Fungsi dan Membangun Pasangan Berurutan
Diketahui fungsi $f(x) = 2x – 3$. Tentukan nilai dari:
a. $f(4)$
b. $f(-2)$
c. Tentukan tiga pasangan berurutan $(x, f(x))$ jika $x$ adalah bilangan bulat positif kurang dari 5.
Penyelesaian:
a. Untuk menentukan $f(4)$, kita substitusikan $x=4$ ke dalam rumus fungsi:
$f(4) = 2(4) – 3$
$f(4) = 8 – 3$
$f(4) = 5$
Jadi, nilai $f(4)$ adalah 5.
b. Untuk menentukan $f(-2)$, kita substitusikan $x=-2$ ke dalam rumus fungsi:
$f(-2) = 2(-2) – 3$
$f(-2) = -4 – 3$
$f(-2) = -7$
Jadi, nilai $f(-2)$ adalah -7.
c. Kita perlu mencari tiga pasangan berurutan $(x, f(x))$ di mana $x$ adalah bilangan bulat positif kurang dari 5. Bilangan bulat positif kurang dari 5 adalah 1, 2, 3, dan 4. Kita bisa memilih tiga di antaranya. Mari kita pilih $x=1, x=2,$ dan $x=3$.
- Untuk $x=1$:
$f(1) = 2(1) – 3 = 2 – 3 = -1$. Pasangan berurutannya adalah $(1, -1)$. - Untuk $x=2$:
$f(2) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1$. Pasangan berurutannya adalah $(2, 1)$. - Untuk $x=3$:
$f(3) = 2(3) – 3 = 6 – 3 = 3$. Pasangan berurutannya adalah $(3, 3)$.
Jadi, tiga pasangan berurutan yang memenuhi adalah $(1, -1)$, $(2, 1)$, dan $(3, 3)$.
Contoh Soal 2: Menentukan Fungsi Jika Diketahui Dua Titik
Sebuah garis lurus melalui titik $(1, 5)$ dan $(3, 11)$. Tentukan rumus fungsi linear $f(x)$.
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa rumus fungsi linear adalah $f(x) = mx + c$. Kita perlu mencari nilai $m$ (gradien) dan $c$ (konstanta).
Langkah 1: Menghitung Gradien ($m$)
Gradien dihitung menggunakan rumus: $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$
Misalkan $(x_1, y_1) = (1, 5)$ dan $(x_2, y_2) = (3, 11)$.
$m = frac11 – 53 – 1 = frac62 = 3$
Langkah 2: Mencari Konstanta ($c$)
Setelah mendapatkan gradien, kita bisa substitusikan salah satu titik ke dalam rumus $f(x) = mx + c$. Mari kita gunakan titik $(1, 5)$.
$5 = 3(1) + c$
$5 = 3 + c$
$c = 5 – 3$
$c = 2$
Langkah 3: Menulis Rumus Fungsi
Dengan $m=3$ dan $c=2$, rumus fungsinya adalah $f(x) = 3x + 2$.
B. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dan $a neq 0$. Grafiknya berupa parabola.
Contoh Soal 3: Menentukan Nilai Fungsi Kuadrat
Diketahui fungsi kuadrat $g(x) = x^2 – 4x + 3$. Tentukan nilai dari:
a. $g(2)$
b. $g(-1)$
Penyelesaian:
a. Untuk menentukan $g(2)$, kita substitusikan $x=2$ ke dalam rumus fungsi:
$g(2) = (2)^2 – 4(2) + 3$
$g(2) = 4 – 8 + 3$
$g(2) = -4 + 3$
$g(2) = -1$
Jadi, nilai $g(2)$ adalah -1.
b. Untuk menentukan $g(-1)$, kita substitusikan $x=-1$ ke dalam rumus fungsi:
$g(-1) = (-1)^2 – 4(-1) + 3$
$g(-1) = 1 + 4 + 3$
$g(-1) = 8$
Jadi, nilai $g(-1)$ adalah 8.
Contoh Soal 4: Menentukan Titik Puncak Parabola
Tentukan titik puncak dari fungsi kuadrat $h(x) = x^2 – 6x + 5$.
Penyelesaian:
Titik puncak parabola dari fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:
Absis puncak (nilai $x$): $x_p = -fracb2a$
Ordinat puncak (nilai $y$ atau $f(x)$): $y_p = f(x_p)$
Dalam fungsi $h(x) = x^2 – 6x + 5$, kita memiliki $a=1$, $b=-6$, dan $c=5$.
Langkah 1: Menghitung Absis Puncak
$x_p = -frac-62(1) = frac62 = 3$
Langkah 2: Menghitung Ordinat Puncak
Substitusikan $x_p = 3$ ke dalam fungsi $h(x)$:
$y_p = h(3) = (3)^2 – 6(3) + 5$
$y_p = 9 – 18 + 5$
$y_p = -9 + 5$
$y_p = -4$
Jadi, titik puncak dari fungsi kuadrat $h(x)$ adalah $(3, -4)$.
II. Persamaan Kuadrat: Mencari Nilai Variabel yang Memenuhi
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua, dengan bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$, di mana $a neq 0$. Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari nilai-nilai $x$ yang membuat persamaan tersebut bernilai benar.
A. Metode Pemfaktoran
Metode ini paling efisien jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah.
Contoh Soal 5: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran
Selesaikan persamaan kuadrat berikut: $x^2 – 5x + 6 = 0$.
Penyelesaian:
Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $c=6$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b=-5$.
Bilangan-bilangan tersebut adalah -2 dan -3, karena $(-2) times (-3) = 6$ dan $(-2) + (-3) = -5$.
Maka, persamaan dapat difaktorkan menjadi:
$(x – 2)(x – 3) = 0$
Agar hasil perkalian ini sama dengan nol, salah satu faktornya harus nol:
$x – 2 = 0$ atau $x – 3 = 0$
$x = 2$ atau $x = 3$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat ini adalah $2, 3$.
B. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus ABC)
Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apapun, baik yang bisa difaktorkan maupun tidak. Rumusnya adalah:
$x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$
Contoh Soal 6: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC
Selesaikan persamaan kuadrat berikut: $2x^2 + 3x – 5 = 0$.
Penyelesaian:
Dari persamaan, kita identifikasi $a=2$, $b=3$, dan $c=-5$.
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus ABC:
$x = frac-3 pm sqrt(3)^2 – 4(2)(-5)2(2)$
$x = frac-3 pm sqrt9 – (-40)4$
$x = frac-3 pm sqrt9 + 404$
$x = frac-3 pm sqrt494$
$x = frac-3 pm 74$
Sekarang kita pisahkan untuk dua kemungkinan nilai $x$:
- $x_1 = frac-3 + 74 = frac44 = 1$
- $x_2 = frac-3 – 74 = frac-104 = -frac52$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat ini adalah $1, -frac52$.
III. Pertidaksamaan Kuadrat: Mencari Rentang Nilai yang Memenuhi
Pertidaksamaan kuadrat memiliki bentuk umum $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c ge 0$, atau $ax^2 + bx + c le 0$. Solusinya bukan hanya titik tertentu, melainkan rentang nilai.
Contoh Soal 7: Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat: $x^2 – 4x + 3 < 0$.
Penyelesaian:
Langkah 1: Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari akar-akarnya.
$x^2 – 4x + 3 = 0$
Faktorkan persamaan ini:
$(x – 1)(x – 3) = 0$
Akar-akarnya adalah $x = 1$ dan $x = 3$.
Langkah 2: Gambarkan garis bilangan dan tandai akar-akar tersebut.
Akar-akar membagi garis bilangan menjadi tiga daerah: $x < 1$, $1 < x < 3$, dan $x > 3$.
Langkah 3: Uji nilai dari setiap daerah untuk menentukan daerah mana yang memenuhi pertidaksamaan $x^2 – 4x + 3 < 0$.
-
Daerah 1: $x < 1$
Ambil contoh $x=0$: $(0)^2 – 4(0) + 3 = 3$. $3$ tidak kurang dari $0$. Jadi, daerah ini tidak memenuhi. -
Daerah 2: $1 < x < 3$
Ambil contoh $x=2$: $(2)^2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1$. $-1$ kurang dari $0$. Jadi, daerah ini memenuhi. -
Daerah 3: $x > 3$
Ambil contoh $x=4$: $(4)^2 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3$. $3$ tidak kurang dari $0$. Jadi, daerah ini tidak memenuhi.
Karena pertidaksamaannya adalah "< 0" (kurang dari nol), maka daerah yang memenuhi adalah daerah di mana nilai fungsi kuadrat negatif. Dari pengujian, daerah $1 < x < 3$ memenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2 – 4x + 3 < 0$ adalah $x mid 1 < x < 3$.
IV. Pengantar Trigonometri Dasar (Jika Termasuk dalam Materi Semester 1)
Beberapa kurikulum mungkin mulai memperkenalkan konsep dasar trigonometri, seperti perbandingan sisi pada segitiga siku-siku.
Contoh Soal 8: Menghitung Perbandingan Trigonometri
Perhatikan segitiga siku-siku ABC, dengan siku-siku di B. Diketahui panjang sisi AB = 8 cm dan BC = 6 cm. Tentukan nilai $sin A$, $cos A$, dan $tan A$.
Penyelesaian:
Langkah 1: Hitung panjang sisi miring (AC) menggunakan Teorema Pythagoras.
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 6^2$
$AC^2 = 64 + 36$
$AC^2 = 100$
$AC = sqrt100 = 10$ cm.
Langkah 2: Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A.
Dalam segitiga siku-siku:
-
Sisi di depan sudut A adalah BC.
-
Sisi di samping sudut A adalah AB.
-
Sisi miring adalah AC.
-
$sin A = fractextsisi depantextsisi miring = fracBCAC = frac610 = frac35$
-
$cos A = fractextsisi sampingtextsisi miring = fracABAC = frac810 = frac45$
-
$tan A = fractextsisi depantextsisi samping = fracBCAB = frac68 = frac34$
Jadi, $sin A = frac35$, $cos A = frac45$, dan $tan A = frac34$.
Penutup
Menguasai materi Matematika Wajib kelas 10 semester 1 adalah langkah awal yang krusial untuk kesuksesan akademis di masa depan. Dengan memahami konsep-konsep fungsi, persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, dan dasar-dasar trigonometri melalui latihan soal yang variatif seperti contoh-contoh di atas, siswa dapat membangun kepercayaan diri dan pondasi matematika yang kokoh.
Ingatlah bahwa kunci keberhasilan dalam matematika adalah latihan yang konsisten, pemahaman konsep yang mendalam, dan tidak ragu untuk bertanya ketika menghadapi kesulitan. Selamat belajar!