Semester 2 kelas 8 merupakan periode krusial dalam pembelajaran matematika. Materi yang disajikan seringkali menjadi fondasi penting untuk jenjang pendidikan selanjutnya, sehingga pemahaman yang kokoh sangat diperlukan. Berbagai topik menarik seperti teorema Pythagoras, lingkaran, statistika, hingga peluang akan dibahas. Artikel ini hadir untuk membantu Anda dalam menguasai materi-materi tersebut dengan menyajikan contoh soal yang relevan beserta pembahasan langkah demi langkah yang mendalam.
Kita akan menjelajahi berbagai jenis soal, mulai dari yang bersifat konseptual hingga yang membutuhkan penerapan rumus dan logika. Dengan pemahaman yang baik terhadap contoh soal dan cara penyelesaiannya, Anda akan lebih percaya diri dalam menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester, hingga ujian akhir semester.
Mari kita mulai perjalanan kita dalam menguasai matematika kelas 8 semester 2!
Bagian 1: Teorema Pythagoras – Mengungkap Hubungan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku
Teorema Pythagoras adalah salah satu konsep fundamental dalam geometri yang menjelaskan hubungan antara panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Teorema ini menyatakan bahwa kuadrat dari panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dari panjang sisi-sisi lainnya (sisi siku-siku). Secara matematis, jika $a$ dan $b$ adalah panjang sisi siku-siku dan $c$ adalah panjang sisi miring, maka berlaku:
$c^2 = a^2 + b^2$
Contoh Soal 1:
Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi siku-siku masing-masing 6 cm dan 8 cm. Hitunglah panjang sisi miring segitiga tersebut!
Pembahasan:
Diketahui:
- Panjang sisi siku-siku, $a = 6$ cm
- Panjang sisi siku-siku, $b = 8$ cm
Ditanya: Panjang sisi miring, $c$.
Menggunakan teorema Pythagoras:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 6^2 + 8^2$
$c^2 = 36 + 64$
$c^2 = 100$
Untuk mencari $c$, kita ambil akar kuadrat dari 100:
$c = sqrt100$
$c = 10$ cm
Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 10 cm.
Contoh Soal 2:
Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 13 cm, dan salah satu sisi siku-sikunya adalah 5 cm. Berapakah panjang sisi siku-siku yang lain?
Pembahasan:
Diketahui:
- Panjang sisi miring, $c = 13$ cm
- Salah satu sisi siku-siku, $a = 5$ cm
Ditanya: Panjang sisi siku-siku yang lain, $b$.
Menggunakan teorema Pythagoras:
$c^2 = a^2 + b^2$
$13^2 = 5^2 + b^2$
$169 = 25 + b^2$
Untuk mencari $b^2$, kita kurangkan 169 dengan 25:
$b^2 = 169 – 25$
$b^2 = 144$
Untuk mencari $b$, kita ambil akar kuadrat dari 144:
$b = sqrt144$
$b = 12$ cm
Jadi, panjang sisi siku-siku yang lain adalah 12 cm.
Contoh Soal 3 (Penerapan dalam Kehidupan Nyata):
Sebuah tangga sepanjang 5 meter disandarkan pada dinding sebuah rumah. Jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah 3 meter. Berapakah tinggi dinding yang dicapai oleh ujung atas tangga?
Pembahasan:
Masalah ini dapat dimodelkan sebagai segitiga siku-siku, di mana:
- Panjang tangga adalah sisi miring ($c = 5$ m).
- Jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah salah satu sisi siku-siku ($a = 3$ m).
- Tinggi dinding yang dicapai tangga adalah sisi siku-siku yang lain ($b$).
Menggunakan teorema Pythagoras:
$c^2 = a^2 + b^2$
$5^2 = 3^2 + b^2$
$25 = 9 + b^2$
$b^2 = 25 – 9$
$b^2 = 16$
$b = sqrt16$
$b = 4$ meter
Jadi, tinggi dinding yang dicapai oleh ujung atas tangga adalah 4 meter.
Bagian 2: Lingkaran – Menjelajahi Unsur-Unsur dan Keliling serta Luasnya
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak sama dari satu titik pusat. Dalam materi lingkaran, kita akan mempelajari berbagai unsurnya seperti jari-jari, diameter, tali busur, busur, apotema, serta rumus keliling dan luasnya.
- Jari-jari (r): Jarak dari titik pusat lingkaran ke sembarang titik pada lingkaran.
- Diameter (d): Garis lurus yang melalui titik pusat dan menghubungkan dua titik pada lingkaran. $d = 2r$.
- Keliling Lingkaran (K): Panjang garis lengkung yang membentuk lingkaran. Rumusnya: $K = 2pi r$ atau $K = pi d$. Nilai $pi$ biasanya diambil 22/7 atau 3.14.
- Luas Lingkaran (L): Luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Rumusnya: $L = pi r^2$.
Contoh Soal 4:
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 7 cm. Hitunglah keliling dan luas lingkaran tersebut! (Gunakan $pi = 22/7$)
Pembahasan:
Diketahui:
- Jari-jari, $r = 7$ cm
- $pi = 22/7$
Ditanya:
- Keliling lingkaran, $K$
- Luas lingkaran, $L$
Menghitung Keliling:
$K = 2pi r$
$K = 2 times frac227 times 7$
$K = 2 times 22$
$K = 44$ cm
Menghitung Luas:
$L = pi r^2$
$L = frac227 times 7^2$
$L = frac227 times 49$
$L = 22 times 7$
$L = 154$ cm$^2$
Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 44 cm dan luasnya adalah 154 cm$^2$.
Contoh Soal 5:
Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 28 meter. Berapakah luas taman tersebut? (Gunakan $pi = 22/7$)
Pembahasan:
Diketahui:
- Diameter, $d = 28$ meter
- $pi = 22/7$
Ditanya: Luas taman, $L$.
Pertama, kita cari jari-jarinya:
$r = fracd2$
$r = frac282$
$r = 14$ meter
Sekarang hitung luasnya:
$L = pi r^2$
$L = frac227 times 14^2$
$L = frac227 times 196$
$L = 22 times 28$
$L = 616$ m$^2$
Jadi, luas taman tersebut adalah 616 m$^2$.
Contoh Soal 6 (Menghitung Jari-jari/Diameter dari Keliling/Luas):
Keliling sebuah lingkaran adalah 88 cm. Hitunglah panjang jari-jarinya! (Gunakan $pi = 22/7$)
Pembahasan:
Diketahui:
- Keliling, $K = 88$ cm
- $pi = 22/7$
Ditanya: Jari-jari, $r$.
Menggunakan rumus keliling:
$K = 2pi r$
$88 = 2 times frac227 times r$
$88 = frac447 times r$
Untuk mencari $r$, kita kalikan 88 dengan 7 dan bagi dengan 44:
$r = frac88 times 744$
$r = 2 times 7$
$r = 14$ cm
Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 14 cm.
Bagian 3: Statistika – Memahami Data Melalui Ukuran Pemusatan
Statistika adalah cabang matematika yang mempelajari cara mengumpulkan, mengorganisasi, menyajikan, menganalisis, dan menginterpretasikan data. Di kelas 8 semester 2, kita akan fokus pada ukuran pemusatan data, yaitu nilai tunggal yang mewakili sekumpulan data. Ukuran pemusatan yang umum dipelajari adalah rata-rata (mean), median, dan modus.
-
Rata-rata (Mean): Jumlah seluruh nilai dibagi dengan banyaknya data.
$textMean = fracsum x_in$
di mana $sum x_i$ adalah jumlah seluruh nilai dan $n$ adalah banyaknya data. -
Median: Nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Jika jumlah data ganjil, median adalah nilai yang tepat di tengah. Jika jumlah data genap, median adalah rata-rata dari dua nilai tengah.
-
Modus: Nilai yang paling sering muncul dalam sekumpulan data.
Contoh Soal 7:
Diberikan data nilai ulangan matematika 10 siswa sebagai berikut: 7, 8, 6, 9, 7, 8, 10, 7, 8, 9. Hitunglah rata-rata, median, dan modus dari data tersebut!
Pembahasan:
1. Menghitung Rata-rata (Mean):
Jumlah seluruh nilai: $7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8 + 10 + 7 + 8 + 9 = 80$
Banyaknya data: $n = 10$
$textMean = frac8010 = 8$
2. Menghitung Median:
Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar: 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10
Karena banyaknya data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Nilai tengah ke-5 adalah 8 dan nilai tengah ke-6 adalah 8.
$textMedian = frac8 + 82 = 8$
3. Menghitung Modus:
Hitung frekuensi kemunculan setiap nilai:
- Nilai 6: muncul 1 kali
- Nilai 7: muncul 3 kali
- Nilai 8: muncul 3 kali
- Nilai 9: muncul 2 kali
- Nilai 10: muncul 1 kali
Nilai yang paling sering muncul adalah 7 dan 8 (keduanya muncul 3 kali). Data ini memiliki dua modus (bimodal).
$textModus = 7$ dan $8$
Jadi, rata-rata nilai ulangan adalah 8, mediannya adalah 8, dan modusnya adalah 7 dan 8.
Contoh Soal 8 (Statistika dari Tabel Frekuensi):
Perhatikan tabel frekuensi berat badan siswa kelas 8 berikut:
| Berat Badan (kg) | Frekuensi |
|---|---|
| 40 | 3 |
| 42 | 5 |
| 44 | 7 |
| 46 | 4 |
| 48 | 2 |
Hitunglah rata-rata berat badan siswa tersebut!
Pembahasan:
Untuk menghitung rata-rata dari tabel frekuensi, kita perlu mengalikan setiap nilai dengan frekuensinya, menjumlahkan hasil perkalian tersebut, lalu membaginya dengan jumlah total frekuensi.
| Berat Badan ($x_i$) | Frekuensi ($f_i$) | $x_i times f_i$ |
|---|---|---|
| 40 | 3 | 120 |
| 42 | 5 | 210 |
| 44 | 7 | 308 |
| 46 | 4 | 184 |
| 48 | 2 | 96 |
| Jumlah | 21 | 918 |
Jumlah total frekuensi (banyaknya siswa) = 21
Jumlah total hasil perkalian = 918
$textRata-rata = fracsum (x_i times f_i)sum f_i = frac91821$
$textRata-rata approx 43.71$ kg
Jadi, rata-rata berat badan siswa kelas 8 adalah sekitar 43.71 kg.
Bagian 4: Peluang Suatu Kejadian – Mengukur Kemungkinan
Peluang adalah ukuran seberapa mungkin suatu kejadian akan terjadi. Peluang sebuah kejadian dihitung dengan membandingkan jumlah hasil yang diinginkan dengan jumlah seluruh hasil yang mungkin terjadi.
Rumus peluang suatu kejadian $A$ adalah:
$P(A) = fractextJumlah hasil yang diinginkantextJumlah seluruh hasil yang mungkin$
Nilai peluang selalu berada di antara 0 dan 1 (inklusif).
- Peluang 0 berarti kejadian tersebut mustahil terjadi.
- Peluang 1 berarti kejadian tersebut pasti terjadi.
Contoh Soal 9:
Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika satu bola diambil secara acak dari kantong tersebut, berapakah peluang terambilnya bola berwarna biru?
Pembahasan:
Jumlah seluruh bola dalam kantong = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.
Jumlah bola berwarna biru yang diinginkan = 3 bola.
Peluang terambilnya bola biru, $P(textbiru)$:
$P(textbiru) = fractextJumlah bola birutextJumlah seluruh bola$
$P(textbiru) = frac310$
Jadi, peluang terambilnya bola berwarna biru adalah 3/10.
Contoh Soal 10:
Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Berapakah peluang munculnya mata dadu angka genap?
Pembahasan:
Jumlah seluruh hasil yang mungkin saat melempar dadu bersisi enam adalah 6 (yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Angka genap pada mata dadu adalah 2, 4, dan 6. Jadi, jumlah hasil yang diinginkan adalah 3.
Peluang munculnya mata dadu angka genap, $P(textgenap)$:
$P(textgenap) = fractextJumlah mata dadu genaptextJumlah seluruh mata dadu$
$P(textgenap) = frac36$
$P(textgenap) = frac12$
Jadi, peluang munculnya mata dadu angka genap adalah 1/2.
Contoh Soal 11 (Peluang Kejadian Majemuk Sederhana):
Dalam sebuah kotak terdapat 10 kartu bernomor 1 sampai 10. Jika diambil satu kartu secara acak, berapakah peluang terambilnya kartu bernomor prima?
Pembahasan:
Jumlah seluruh kartu adalah 10.
Bilangan prima antara 1 sampai 10 adalah 2, 3, 5, dan 7. Jadi, ada 4 kartu bernomor prima.
Peluang terambilnya kartu bernomor prima, $P(textprima)$:
$P(textprima) = fractextJumlah kartu primatextJumlah seluruh kartu$
$P(textprima) = frac410$
$P(textprima) = frac25$
Jadi, peluang terambilnya kartu bernomor prima adalah 2/5.
Penutup
Menguasai materi matematika kelas 8 semester 2 memerlukan latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang mendalam. Contoh-contoh soal dan pembahasan yang telah disajikan di atas mencakup beberapa topik kunci yang sering diujikan.
Ingatlah bahwa kunci keberhasilan dalam matematika adalah dengan terus berlatih. Cobalah untuk mengerjakan soal-soal serupa dengan angka yang berbeda, variasi soal, dan bahkan mencoba membuat soal sendiri. Jika ada materi yang masih terasa sulit, jangan ragu untuk bertanya kepada guru, teman, atau mencari sumber belajar tambahan.
Dengan tekad dan usaha yang gigih, Anda pasti dapat meraih hasil yang optimal dalam mempelajari matematika kelas 8 semester 2! Selamat belajar!